Estou pensando em classes de gráficos que podem ser caracterizadas por subgráficos proibidos.
Se uma classe de gráfico possui um conjunto finito de subgráficos proibidos, existe um algoritmo de reconhecimento de tempo polinomial trivial (pode-se usar apenas força bruta). Mas uma família infinita de subgrafos proibidos não implica dureza: existem algumas classes com uma lista infinita de subgrafos proibidos, de modo que o reconhecimento também pode ser testado em tempo polinomial. Gráficos cordais e perfeitos são exemplos, mas, nesses casos, existe uma estrutura "agradável" na família proibida.
Existe alguma relação conhecida entre a dureza do reconhecimento de uma classe e o "mau comportamento" da família proibida? Essa relação deveria existir? Esse "mau comportamento" foi formalizado em algum lugar?
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A resposta de @Hugo é muito boa, e aqui quero acrescentar algumas opiniões pessoais.
Existem famílias relacionadas semelhantes aos gráficos da família F e F '. Os gráficos da família B1 no artigo são geralmente chamados de pirâmides. E os gráficos da família B2 geralmente são chamados de prismas. Veja a resposta aqui para uma ilustração. Na literatura de problemas de detecção de subgráficos induzidos, eles foram usados para detectar orifícios pares / ímpares, que são ciclos sem corda com comprimento par / ímpar. Pelo famoso teorema do forte gráfico perfeito, um gráfico G é perfeito se G e o complemento de G não contêm buracos ímpares.
Para as famílias de pirâmides e prismas, de fato, existem diferenças entre elas - uma tem uma subárvore induzida de três folhas e a outra não. Isso é chamado de problema "três em uma árvore" , estudado por Chudnovsky e Seymour. É surpreendente que determinar se existe uma árvore induzida que contém três nós dados é tratável, enquanto o problema da "árvore quatro em uma centrada" é difícil para o NP . (Uma árvore centralizada é uma árvore com no máximo um nó com grau maior que 2.) As diferenças entre F e F 'parecem ser causadas pelo mesmo motivo.
Mas parece que uma caracterização completa ainda é difícil, porque nem sabemos a complexidade de detectar gráficos em algumas das famílias que parece bastante simples, como gráficos sem buracos estranhos (!). E para as famílias que sabemos que existe um algoritmo de tempo polinomial, como gráficos perfeitos e gráficos sem buracos, embora existam estratégias gerais (baseadas em decomposições) para projetar um algoritmo, é preciso fornecer um teorema estrutural específico para eles. Geralmente, esse é um processo dependente da família e, na maioria das vezes, as provas são realmente longas. ( Aqui está um exemplo para o gráfico sem orifícios uniformes, onde o papel tem mais de 90 páginas.)
Ainda assim, seria interessante ter algumas classificações para problemas de detecção de subgráficos induzidos, no sentido como o problema das três em uma árvore.
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