Existem grupos com problemas de palavras em graus P arbitrários?

Sabe-se há muito tempo que, dado qualquer grau de repetição, existe um grupo finitamente apresentado cujo problema de palavras se encontra nesse grau. Minha pergunta é se o mesmo se aplica aos graus de Turing no tempo polinomial arbitrário . Especificamente, dado um conjunto decidível, , existe um grupo finitamente apresentado, com um problema de palavras, W , tal que W ≤ P T A e A ≤ P T W ? Eu também estaria disposto a relaxar finitamente apresentado para recursivamente apresentado.$A$$W$$W\leq_T^P A$$A\leq_T^P W$

Suspeito que a resposta seja afirmativa e ouvi outros dizerem que leram isso em algum lugar, mas não consegui buscar uma referência.

Eu acho que isso não é conhecido. (Peço desculpas - acho que também fui uma das pessoas que disse que me lembrava de ter lido isso em algum lugar.) Por exemplo, acredito que Sapir-Birget-Rips, Annals of Math 2002, foram os primeiros a mostrar a existência de um grupo com problema com palavras completas (o que seria uma conseqüência trivial do resultado solicitado nesta pergunta). Seu Corolário 1.1 declara:$\mathsf{NP}$

Existe um grupo finitamente apresentado com o problema da palavra NP-completo. Além disso, para cada língua por algum alfabeto finito Um existe um grupo finito apresentada L de tal modo que a complexidade de tempo não-determinístico de L é polinomialmente equivalente à complexidade de tempo não-determinístico de L .$L \subseteq A^*$$A$$G$$G$$L$

Embora a segunda metade desse corolário tenha um espírito semelhante a essa pergunta, está muito longe de provar que todo grau contém um problema de palavras.$\leq_T^p$