Foram estudadas generalizações da correspondência máxima de peso?

Por exemplo, uma maneira de visualizar a correspondência máxima de peso é que cada vértice $v$ obtém um utilitário que é igual ao peso da aresta na qual ele corresponde e a zero, caso contrário.$f_v= w(e_v)$

portanto, uma correspondência de peso máximo pode ser vista como maximização do objetivo .$\sum_v f_v$

Foram estudadas generalizações da correspondência máxima de peso que consideram funções objetivas mais gerais usando ponderado, multivariado ou não linear ?$f_v$

Foram estudadas outras variantes que são generalizações de uma maneira diferente?

os fundamentos fornecem referências, se aplicável!

A correspondência de peso máximo em é equivalente ao conjunto independente de peso máximo no gráfico de linhas de G e pode ser escrita da seguinte forma$G$$G$

Aqui é um vetor de ocupações de vértices, f i j ( x , y ) retorna 0 se x = y = 1, 1 se x = y = 0, caso contrário, o peso do nó que não é 0. você pode generalizar, permitindo que outras opções de x e f , por exemplo$\mathbf{x}\in\{0,1\}^n$$f_{ij}(x,y)$$\mathbb{x}$$f$

• Maior coloração adequada $\mathbf{x}\in \{1,\ldots,q\}^n, f(x,y)=\delta(x-y)$
• Ising do estado fundamental do modelo $\mathbf{x}\in \{1,-1\}^n, f(x,y)=\exp(J x y)$

Se você permitir arbitrário e não negativo , isso se tornará o problema de encontrar a configuração mais provável de variáveis ​​em um campo aleatório de Gibbs com f representando potenciais de interação de borda. Generalizando ainda mais os hipergráficos, seu objetivo se torna$f$$f$

Aqui é um conjunto de hiper-arestas (tuplas de nós), e x e é restrição de x a nós na hiper-aresta e .$E$$x_e$$x$$e$

Exemplo:

• Erro ao corrigir decodificação, $\mathbf{x} \in \{1,\ldots,q\}^n, f(x_e)=\exp{\text{parity} (x_e)}$
• Inferência MAP no modelo de probabilidade estruturada em hipergrafo, função não negativa arbitrária$f$

Generalizando em outra direção, suponha que, em vez de uma única correspondência máxima, você queira encontrar correspondências máximas ponderadas mais altas. Este é um exemplo especial de encontrar k explicações mais prováveis ​​em um modelo probabilístico. O objetivo agora pode ser escrito como$m$$k$

Veja [ Flerova, 2010 ] para o significado do objetivo acima.

De modo mais geral, em vez de classificar, ou max , Π ao longo de reais, podemos considerar um general ( ⋅ , + ) comutativa semiring onde ⋅ e + são operações abstratas obedecer à lei associativa e distributiva. O objetivo que alcançamos é agora$\prod$$\max,\prod$$(\cdot,+)$$\cdot$$+$

Aqui, é tomada ao longo de todas as bordas de alguns hipergrafo L através n nodos, ⨁ é retomado n -tuples de valores, cada f e leva x 's para E e ( ⨂ , ⨁ , E ) formar um semi-anel conmutativo$\bigotimes$$G$$n$$\bigoplus$$n$$f_e$$x$$E$$(\bigotimes,\bigoplus,E)$

Exemplos:

• Função de partição de modelos de interação de spin: use vez de ( max , + $(*,+)$$(\max,+)$
• Transformação rápida de Fourier sobre grupos abelianos: use grupos abelianos em vez de $\mathbb{R}$

O que aproxima todas essas generalizações é que o algoritmo mais conhecido para instâncias específicas do problema acima é geralmente o mesmo que o algoritmo mais geral, às vezes chamado de "Lei distributiva generalizada" [ Aji, 2000 ], que funciona em tempo para os hipergrafos limitados da largura da árvore.$O(1)$

Isso coloca a solução exata dos problemas acima em uma estrutura unificada, no entanto, essa estrutura para solução aproximada está ausente (e eu quero ouvir sobre isso, se você pensar o contrário).

Existem várias extensões do problema para estruturas mais gerais. Por exemplo:

• Correspondência Matroid ( notas de aula , correspondência Matroid e algumas aplicações , correspondência Matroid: o poder da pesquisa local )

• Caminho-matching ( problemas de caminho de correspondência , correspondência, matróides e extensões )

• Correspondência de hipergrafo (não consegue encontrar boas referências)

Geralmente, essas extensões são difíceis de NP.

Uma extensão interessante (embora talvez seja bem conhecida por você) é a variante que permite a correspondência parcial de vértices com outros vértices (na configuração bipartida). Essa variante também pode ser resolvida usando o algoritmo húngaro e é conhecida como problema de transporte (a métrica resultante é chamada de métrica de transporte, a distância do trator terrestre , a distância de Monge-Kantorovich-Wasserstein ou a distância de Mallows, dependendo de quem você pergunta).

Ainda outro problema clássico que pode ser interpretado como um problema de correspondência com uma função objetiva estranha é a correspondência máxima mínima .$f_v$

Aqui você pode definir seguinte maneira: 0 se v for incomparável e adjacente a outro nó não correspondente; n se v for correspondido; e n + 1 se v for incomparável, mas não adjacente a nenhum nó incomparável.$f_v$$0$$v$$n$$v$$n+1$$v$

Agora, o valor da função objetivo é n 2 + n - 2 | M | ≥ n 2 se o M correspondente for máximo; caso contrário, é menor que n 2 . Portanto, maximizar Σ v f v sobre todos M resulta em menor máxima correspondente M .$\sum_v f_v$$n^2 + n - 2|M| \ge n^2$$M$$n^2$$\sum_v f_v$$M$$M$

Encontrar uma menor correspondência máxima é um problema de otimização difícil de NP; portanto, podemos dizer com segurança que não é apenas o problema usual de correspondência de peso máximo disfarçado. Novamente, observe que é "não local" no sentido de que não é uma função de M restrita às arestas incidentes em v .$f_v$$M$$v$

Se você deseja algo que não possa ser facilmente reduzido ao problema de correspondência de peso máximo, aqui está um exemplo: o problema estável do casamento .

Uma interpretação é que, no problema do casamento estável, é a "estabilidade" do vértice v ; é 0 se v for incidente em uma aresta instável (aresta de bloqueio) e 1 caso contrário. Então, o objetivo é encontrar uma correspondência que maximize ∑ v f v . (E isso pode ser resolvido usando o algoritmo Gale – Shapley; o ideal é sempre | V | .)$f_v$$v$$0$$v$$1$$\sum_v f_v$$|V|$

Uma propriedade crucial desse é que depende não apenas de quais arestas incidentes em v são correspondidas, mas também dos vizinhos das arestas incidentes em v .$f_v$$v$$v$

( Edit: A propriedade acima é essencial para obter algo que não seja apenas o problema de correspondência de peso máximo disfarçado. Observe que, se soluções viáveis ​​são correspondências e se $f_v$ depende apenas de quais arestas incidentes em são correspondidas, então podemos definir o peso w ( e ) de uma aresta e = { u , v } da seguinte maneira: quanto f u + f v aumenta se substituirmos uma correspondência vazia M = ∅ por uma correspondência M ′ = { $v$$w(e)$$e = \{u,v\}$$f_u + f_v$$M = \emptyset$ que contém apenas a borda e . Uma correspondência de peso máximo desses pesos também maximiza ∑ v f v .)$M' = \{e\}$$e$$\sum_v f_v$

Muitas variantes e generalizações são consideradas no livro de Lovasz e Plummer .