Sensibilidade das propriedades do gráfico

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Em [1], Turan mostra que a sensibilidade (chamada "complexidade crítica" no artigo) de uma propriedade de gráfico é estritamente maior que ondemé o número de vértices no gráfico. Ele continua conjecturando que qualquer propriedade não-trivial do gráfico tenha sensibilidadem-1. Ele menciona que isso foi verificado param5. Houve algum progresso nessa conjectura?1 14mmm-1 1m5

fundo

Seja uma string binária em { 0 , 1 } n . Defina x i para 1 i n como a sequência obtida de x ao inverter o bit i t h . Para uma função booleana f : { 0 , 1 } n \ a { 0 , 1 } , defina a sensibilidade de f em x como s ( f ; xx{0 0,1 1}nxEu1 1EunxEuthf:{0 0,1 1}n{0 0,1 1}fx. Finalmente, defina asensibilidadede f como s ( f ) : = max xs(f;x): =|{Eu:f(x)f(xEu)}|f .s(f): =maxxs(f;x)

Uma propriedade gráfico é um conjunto de gráficos de tal modo que, se L P e L ' é isomorfa a L então L 'P . Podemos pensar em uma propriedade de gráfico P como a união de propriedades P m onde P m é o subconjunto de P que consiste em gráficos com m vértices. Além disso, pode-se conceber uma propriedade gráfico P m como uma função booleana em { 0 , 1 } n onde n =PGPGGGPPPmPmPmPm{0 0,1 1}n . Podemos codificar um gráfico emmvértices em um vetor binário de comprimenton; cada entrada no vetor corresponde a um par de vértices e a entrada é1se a borda estiver presente no gráfico. Assim, a sensibilidade de uma propriedade gráfico é a sua sensibilidadequafunção booleano.n=(m2)mn1 1

  1. Turan, G., A complexidade crítica das propriedades do gráfico, Information Processing Letters 18 (1984), 151-153.
mhum
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você viu a pesquisa de Buhrman e de Wolf em 2002 ( homepages.cwi.nl/~rdewolf/publ/qc/dectree.ps )? ele não responde diretamente à sua pergunta, mas possui mais informações sobre a sensibilidade das funções em geral e também sobre propriedades de gráfico monótono.
Suresh Venkat
as necessidades de codificação bits((m2)+1 1)registrom
Diego de Estrada

Respostas:

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A pesquisa que Suresh apontou traz um artigo de Wegener [1] que confirma parcialmente a conjectura. Ele é válido para todas as propriedades de gráfico monótono e a desigualdade é pequena (considere a propriedade "Não possui vértices isolados"). Qualquer resultado mais recente também seria apreciado.

  1. Wegener, L. A complexidade crítica de todas as funções booleanas (monótonas) e propriedades de gráficos monótonas. Information and Control , 67: 212-222, 1985.
mhum
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