Digamos que temos um poliedro na forma padrão:
Existem métodos conhecidos para encontrar um hiperplano que divide o poliedro de uma maneira que o número de vértices em cada lado do hiperplano seja aproximadamente o mesmo? (ou seja, um algoritmo que minimiza a diferença absoluta de cardinalidades de vértices nos dois lados da divisão).
Além disso, existem resultados conhecidos sobre a complexidade desse problema?
Adendo: Restringindo os tipos de cortes:
Aqui está uma variação do problema original com a esperança de que seja mais fácil resolver do que o original:
Existe uma maneira de calcular ou estimar eficientemente para qual coordenada um hiperplano da forma produziria a menor diferença absoluta de cardinalidades de vértices em ambos os lados da divisão? Por eficiente, quero dizer algo mais eficiente do que a enumeração exaustiva de cardinalidades de vértices para todas essas divisões possíveis.
Nota: Após alguns dias de pouco progresso, também postei essa pergunta no MathOverflow .
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Respostas:
Não me lembro da maneira analítica de fazer isso!
Mas este é um problema clássico para a programação genética! Se você estiver familiarizado, poderá usar vetores normalizados no centro do poliedro que descrevem o plano de corte.
Portanto, sua população é um conjunto de [x, y, z, ...] vetores normalizados e, como função de ajuste, você usa a diferença entre os 2 volumes divididos!
Portanto, se a diferença tende a zero mais "ajuste" é o seu vetor / plano!
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