Densidade de idiomas P completos

Suponha que seja uma linguagem booleana, de seqüências finitas acima de . Seja o número de strings em com comprimento . Para uma função dos números inteiros positivos aos números reais positivos, tem densidade superior se para todo suficientemente grande . $L$ $\{0,1\}$ $L_n$ $L$ $n$ $d(n)$ $L$ $d(n)$ $L_n \le 2^n d(n)$ $n$

Algum idioma booleano completo com P possui densidade superior ? $O(1/n)$

Motivação

Paridade tem densidade superior . SIM (o idioma de todas as seqüências binárias finitas) possui densidade superior 1. Qualquer idioma finito possui densidade superior 0. $1/2$
Uma linguagem esparsa tem a propriedade de que existe um polinômio tal que para todos os . Se é uma linguagem esparsa, então para um polinômio de grau um maior que o de , portanto a densidade superior de é zero. $L$ $p(n)$ $L_n - L_{n-1} \le p(n)$ $n$ $L$ $L_n \le p_1(n)$ $p_1$ $p$ $L$
Jin-Yi Cai e D. Sivakumar mostraram que uma linguagem P-completa não pode ser esparsa, a menos que P = L (= LOGSPACE). Como P = co-P, qualquer idioma do qual o complemento é escasso também não pode ser P-completo, a menos que P = L.
Por uma desigualdade simples (ver, por exemplo, Corollary 2 de Rosser e Schoenfeld 1962 ), o PRIMES tem densidade superior . Pergunta Os problemas PRIMES, FACTORING são conhecidos por P-hard? discute se o PRIMES é difícil (isso parece estar aberto atualmente). $(\log_2 e)/n$
Em certo sentido, as linguagens completas (ou universais) para uma classe de complexidade contêm toda a estrutura da classe. Portanto, minha hipótese experimental, baseada em uma extrapolação selvagem do resultado de Cai e Sivakumar, seria que tais idiomas não podem ser muito esparsos. O limite polinomial usual que define as linguagens esparsas parece muito restritivo, por isso estou perguntando sobre um limite um pouco menos restritivo.

O trabalho sobre lowness de Fortnow, Hemaspaandra e outros também está possivelmente relacionado.

$k$

Reconhecimentos

Veja também a pergunta relacionada Densidade condicional dos números primos . Agradecemos a @Tsuyoshi Ito e @Kaveh pelos comentários úteis sobre uma versão anterior desta pergunta, que infelizmente foi mal posta.

cc.complexity-theory reference-request p-hardness András Salamon
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2^{n} / n

$2^n/n$

$1/n$

$L_n \subseteq \{0,1\}^n$ $d(n) \in \omega(1/n)$ $L'_{n + m} = \{x0^m | x \in L_n\}$ $m$ $n$ $L'$ $L'_k = \emptyset$ $k \neq n + m$ $L'$

d^{'} (n + m) = \frac{| L_{n + m}^{'} |}{2^{n + m}} = \frac{| L_{n} |}{2^{n + m}} \leq \frac{d (n)}{2^{m}}

$d'(n + m) = \frac{|L'_{n + m}|}{2^{n + m}} = \frac{|L_n|}{2^{n + m}} \leq \frac{d(n)}{2^m}$

$M$ $L$ $M'$ $L'$ $x$ $n$ $m(n)$ $m(n) \in poly(n)$

$1/n$ $m(n) = n$ $d'(2n) \leq d(n)/2^n \in O(1/n)$

Artem Kaznatcheev
fonte

m

$m$

n

$n$

1 / \log n

$1/\log n$

Acho que sim, você precisaria apenas de m = log log n. Em geral, para m = f (n), você pode escolher qualquer f que esteja no espaço LOG (com n em unário). (ou NC, se você preferir essas reduções).

Artem Kaznatcheev

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