Contexto: Consideramos apenas dígitos. Deixe CYCLE ser a linguagem dos gráficos com um ciclo; é um problema NL-completo. Seja HASEDGE o idioma dos gráficos com pelo menos uma aresta. Em seguida, trivialmente, não é mais NL, enquanto permanece assim.CICLO ∪ ¯ HASEDGE
Problema real: Gostaria de saber se o idioma ainda é NL-difícil.
Pergunta: Para qual fórmula FO no vocabulário dos gráficos é NL-difícil? Esta propriedade é decidível?
Obrigado pela sua contribuição!
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O problema real está no FO. Teste se existe tal que e está obviamente em FO.( a , c ) , ( b , d ) ∈ E ( G ) ( a , d ) , ( b , c ) ∉ E ( G )a,b,c,d∈V(G) (a,c),(b,d)∈E(G) (a,d),(b,c)∉E(G)
Suponha que não exista , então admite um ciclo direcionado se e somente se admite um ciclo direcionado de comprimento dois. Isto pode ser deduzido do facto de que para quaisquer dois vértices e de , as suas out-bairros e são tais que ou .G G a b G N - ( a ) N - ( b ) N - ( a ) ⊆ N - ( b ) N - ( b ) ⊆ N - ( a )a,b,c,d G G a b G N−(a) N−(b) N−(a)⊆N−(b) N−(b)⊆N−(a)
Assim, é suficiente verificar se existe modo que , que está em FO.( a , b ) , ( b , a ) ∈ E ( G )a,b∈V(G) (a,b),(b,a)∈E(G)
Então, está em se e somente seC Y C G E ∪ N S D I A G ( ∃ um , b , c , d ) [ ( E ( um , b ) ∧ E ( c , d ) ∧ ¬ E ( um , d ) ∧ ¬ E ( b , c ) ) ∨ ( E ( a ,G CYCLE∪NODIAG (∃a,b,c,d)[(E(a,b)∧E(c,d)∧¬E(a,d)∧¬E(b,c))∨(E(a,b)∧E(b,a))]
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