Quando uma propriedade FO mata a dureza NL?

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Contexto: Consideramos apenas dígitos. Deixe CYCLE ser a linguagem dos gráficos com um ciclo; é um problema NL-completo. Seja HASEDGE o idioma dos gráficos com pelo menos uma aresta. Em seguida, trivialmente, não é mais NL, enquanto permanece assim.CICLO ¯ HASEDGECYCLEHASEDGECYCLEHASEDGE¯

Problema real: Gostaria de saber se o idioma ainda é NL-difícil.

CYCLE{(V,E):(u,v,x,y)[E(u,v)E(x,y)¬E(u,y)¬E(x,v)]}

Pergunta: Para qual fórmula FO no vocabulário dos gráficos é NL-difícil? Esta propriedade é decidível?ϕ

CYCLE{(V,E):(V,E)ϕ}

Obrigado pela sua contribuição!

Michaël Cadilhac
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Respostas:

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Deixe-me chamar a propriedade no seu "Problema real" . O mapeamento a seguir reduz para :CICLO DE CICLO NODIAGNODIAGCYCLECYCLENODIAG

Para um dado , substituir cada vértice em por duas cópias e se existe uma aresta em , deixar têm bordas e . Assim, para todo o gráfico satisfaz .v G v v ( u , v ) E G ( u , v ) , ( u , v ) , ( u , v ) ( u , v ) G G ¬ NODIAGG=(V,E)vGvv(u,v)EG(u,v),(u,v),(u,v)(u,v)GG¬NODIAG

Além disso, tem um ciclo se tiver um ciclo, portanto satisfaz se satisfizer . Portanto, é NL-difícil. G G ' CICLO NODIAG G CICLO DE CICLO NODIAGGGGCYCLENODIAGGCYCLECYCLENODIAG

Penso que uma construção semelhante funcionaria para todas as propriedades puramente universais.

Jan Johannsen
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Obrigado pelo seu trabalho Jan! Mas não sei se você resolveu o problema completamente, pois se uma estrutura NODIAG aparecer em G, ela ainda aparecerá no final de sua construção, AFAIU.
Michaël Cadilhac
Sim, mas e daí. A construção impõe que . Portanto, se , , portanto . OTOH, se , então e, portanto, . Portanto, a construção reduz para . G CICLO G 'CICLO G 'CICLO NODIAG G CICLO G 'CICLO G 'CICLO NODIAG CICLO DE CICLO NODIAGG¬NODIAGGCYCLEGCYCLEGCYCLENODIAGGCYCLEGCYCLEGCYCLENODIAGCYCLECYCLENODIAG
Jan Johannsen
Jan, sinto muito, eu errei com a redação da minha pergunta; o subgrafo descrito deveria ser pensado como um gráfico EXCLUÍDO. Observe que, com a redação anterior, você só precisará adicionar quatro nós bordas , , e para que o gráfico fique fora de NODIAG. Mais uma vez, sinto muito pelos erros de digitação. u v x y u yu,v,x,yuvxyuy
Michaël Cadilhac
(PS: Como devo a você por trabalhar em uma pergunta incorreta, aqui está um documento da TCS com um bom título que não aparece em sua lista: Diamonds are Forever (The Variety DA) de Tesson e Therien.)
Michaël Cadilhac,
Nesse caso, que tal apenas adicionar um novo vértice em cada aresta: em substitua todo por e . O gráfico resultante é cíclico se é e não possui a estrutura excluída. Aliás, não estou mais mantendo essa lista. e = ( u , v ) ( u , v e ) ( v e , v ) G GGe=(u,v)(u,ve)(ve,v)GG
Jan Johannsen
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O problema real está no FO. Teste se existe tal que e está obviamente em FO.( a , c ) , ( b , d ) E ( G ) ( a , d ) , ( b , c ) E ( G )a,b,c,dV(G)(a,c),(b,d)E(G)(a,d),(b,c)E(G)

Suponha que não exista , então admite um ciclo direcionado se e somente se admite um ciclo direcionado de comprimento dois. Isto pode ser deduzido do facto de que para quaisquer dois vértices e de , as suas out-bairros e são tais que ou .G G a b G N - ( a ) N - ( b ) N - ( a ) N - ( b ) N - ( b ) N - ( a )a,b,c,dGGabGN(a)N(b)N(a)N(b)N(b)N(a)

Assim, é suficiente verificar se existe modo que , que está em FO.( a , b ) , ( b , a ) E ( G )a,bV(G)(a,b),(b,a)E(G)

Então, está em se e somente seC Y C G E N S D I A G ( um , b , c , d ) [ ( E ( um , b ) E ( c , d ) ¬ E ( um , d ) ¬ E ( b , c ) ) ( E ( a ,GCYCLENODIAG(a,b,c,d)[(E(a,b)E(c,d)¬E(a,d)¬E(b,c))(E(a,b)E(b,a))]

Adrien
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Obrigado Adrien. Você gostaria de adicionar um argumento sobre por que as vizinhanças externas de dois nós são comparáveis? Vou esperar um pouco para ver se alguém soluciona o problema completo e, se ninguém aparecer, eu responderei.
Michaël Cadilhac
Não acho que a comparabilidade de bairros externos seja realmente válida. Tome, por exemplo, o gráfico de apenas quatro vértices com arestas e . Este gráfico satisfaz a fórmula de Michael, mas é incomparável com . ( a , c ) ( b , d ) N - ( a ) = { c } N - ( b ) = { d }a,b,c,d(a,c)(b,d)N(a)={c}N(b)={d}
Jan Johannsen
@ Jan: Se não me engano, o argumento de Adrien é que, se um gráfico não satisfizer a segunda parte, se houver um ciclo, ele terá um ciclo de comprimento 2. Portanto, seu argumento é que, se o gráfico não atender à segunda parte, a comparabilidade será válida.
Michaël Cadilhac