Calculando distâncias com aproximação menor que 2 em gráficos gerais?

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Dado um gráfico não direcionado ponderado com m=o(n2) arestas, eu gostaria de calcular distâncias de aproximação inferiores a 2 entre qualquer par de vértices. Obviamente, eu gostaria de usar o espaço subquadrático e o tempo de consulta sublinear.

Estou ciente do resultado de Zwick que usa multiplicação de matrizes, mas estou curioso para saber se algum algoritmo combinatório é conhecido por esse problema?

Siddhartha
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Oi @Siddhartha, desculpe se esta é uma pergunta idiota: o resultado de Zwick parece usar espaço quadrático, está correto?
Hsien-Chih Chang,
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Além disso, o erro aditivo é permitido?
Hsien-Chih Chang,
@ Hsien-ChihChang 張顯 之 - Eu estava interessado nos resultados apenas na aproximação multiplicativa. O caso da aproximação aditiva pode ser interessante por si só - mais fácil para gráficos densos, eu acho. Pode-se usar uma chave inglesa e obter uma aproximação aditiva para gráficos densos o suficiente. Para gráficos esparsos, até onde eu sei, as chaves inglesas não ajudariam.
Siddhartha
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Gnm12Ω(m)log2(Nm)N=(n2)mlog2(N/m)
Sariel Har-Peled
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Obrigado Sariel - pode ser possível derivar um limite inferior , mas estou bem com isso. Tudo o que eu gostaria de ter é espaço subquadrático e tempo de consulta sublinear. Para gráficos com arestas, limite inferior não diz nada para o problema - está certo? Ω(m)m=o(n2)Ω(m)
Siddhartha

Respostas:

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Até onde eu sei, não há resultado publicado sobre o cálculo de distâncias de aproximação inferiores a 2 no espaço subquadrático e no tempo de consulta sublinear. Para recuperar distâncias aproximadas rapidamente, consulte os resultados e as referências em "Algoritmos mais rápidos para os caminhos mais curtos aproximados de todos os pares" de Baswana e Kavitha (a versão em diário de seu artigo sobre o FOCS tem uma boa revisão do trabalho relacionado); nenhum deles atinge espaço subquadrático.

Para recuperar distâncias aproximadas de maneira compacta, convém examinar os resultados e as referências nos dois documentos acima. [Como complemento à resposta de Gabor, uma palavra de cautela: tenha cuidado com a noção de escarsidade nos artigos acima - para a aproximação , um gráfico é considerado esparso se , como você provavelmente já sabe].2m=o(n2)

Como Sariel apontou em um dos comentários acima, um limite inferior natural no espaço para calcular distâncias aproximadas menores que é , ou seja, linear no tamanho do gráfico. Se o tempo de consulta não for limitado, esse limite inferior não poderá ser melhorado (trivialmente, é possível usar o algoritmo de caminho mais curto armazenando apenas o gráfico). Para tempo de consulta constante, conheço dois limites inferiores. Primeiro, Patrascu e Roddity tinham alguns limites inferiores condicionais em seu documento do FOCS 2010, que solicitam uma aproximação menor que . Segundo, Sommer et. al. tinha alguns limites mais baixos para gráficos extremamente esparsos. Não conheço outros limites inferiores (não triviais).2Ω(m)2

Em termos de limites superiores, os resultados dos artigos acima parecem não generalizar para aproximações menores que . Recentemente, fizemos alguns progressos nesse problema. O artigo deverá estar no ArXiv em breve, mas se você quiser, envie-me um e-mail e ficarei feliz em compartilhar o artigo.2

Espero que isto ajude.

~ Rachit Agarwal

Rachit
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Você pode estar interessado no documento INFOCOM de Rachit Agarwal 2011:

Rachit Agarwal, P. Brighten Godfrey, Sariel Har-Peled Consultas de distância aproximada e roteamento compacto em gráficos esparsos, IEEE INFOCOM 2011

Do resumo:

[Para um] gráfico com grau médio , casos especiais de nossas estruturas de dados recuperam dois caminhos extensos com espaço [...] ao custo de tempo de consulta.Θ(logn)O(n3/2)O(n)

Observe que seu oráculo de distância é apenas para gráficos esparsos, mas o limite logarítmico do grau parece plausível. Adicionado bônus, o algoritmo também funciona para gráficos ponderados.

Gabor Retvari
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Você também pode querer dar uma olhada

Pătraşcu, Roditty, Oráculos a distância além do Thorup - Zwick Bound , FOCS 2010

Eles têm um oráculo de distância do tamanho com o trecho 2. Ele suporta consultas em tempo constante.O(n5/3)

zotachidil
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Obrigado! O artigo de Agrawal e Mihai parece não dizer nada sobre a aproximação "menor que" 2, a menos que eu tenha perdido alguma coisa.
Siddhartha
Não é, mas pode lhe dar uma idéia sobre como obter uma troca para melhorar o alongamento.
Zotachidil 11/11