Dado um gráfico não direcionado ponderado com arestas, eu gostaria de calcular distâncias de aproximação inferiores a 2 entre qualquer par de vértices. Obviamente, eu gostaria de usar o espaço subquadrático e o tempo de consulta sublinear.
Estou ciente do resultado de Zwick que usa multiplicação de matrizes, mas estou curioso para saber se algum algoritmo combinatório é conhecido por esse problema?
ds.algorithms
graph-algorithms
Siddhartha
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Respostas:
Até onde eu sei, não há resultado publicado sobre o cálculo de distâncias de aproximação inferiores a 2 no espaço subquadrático e no tempo de consulta sublinear. Para recuperar distâncias aproximadas rapidamente, consulte os resultados e as referências em "Algoritmos mais rápidos para os caminhos mais curtos aproximados de todos os pares" de Baswana e Kavitha (a versão em diário de seu artigo sobre o FOCS tem uma boa revisão do trabalho relacionado); nenhum deles atinge espaço subquadrático.
Para recuperar distâncias aproximadas de maneira compacta, convém examinar os resultados e as referências nos dois documentos acima. [Como complemento à resposta de Gabor, uma palavra de cautela: tenha cuidado com a noção de escarsidade nos artigos acima - para a aproximação , um gráfico é considerado esparso se , como você provavelmente já sabe].2 m=o(n2)
Como Sariel apontou em um dos comentários acima, um limite inferior natural no espaço para calcular distâncias aproximadas menores que é , ou seja, linear no tamanho do gráfico. Se o tempo de consulta não for limitado, esse limite inferior não poderá ser melhorado (trivialmente, é possível usar o algoritmo de caminho mais curto armazenando apenas o gráfico). Para tempo de consulta constante, conheço dois limites inferiores. Primeiro, Patrascu e Roddity tinham alguns limites inferiores condicionais em seu documento do FOCS 2010, que solicitam uma aproximação menor que . Segundo, Sommer et. al. tinha alguns limites mais baixos para gráficos extremamente esparsos. Não conheço outros limites inferiores (não triviais).2 Ω(m) 2
Em termos de limites superiores, os resultados dos artigos acima parecem não generalizar para aproximações menores que . Recentemente, fizemos alguns progressos nesse problema. O artigo deverá estar no ArXiv em breve, mas se você quiser, envie-me um e-mail e ficarei feliz em compartilhar o artigo.2
Espero que isto ajude.
~ Rachit Agarwal
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Você pode estar interessado no documento INFOCOM de Rachit Agarwal 2011:
Rachit Agarwal, P. Brighten Godfrey, Sariel Har-Peled Consultas de distância aproximada e roteamento compacto em gráficos esparsos, IEEE INFOCOM 2011
Do resumo:
[Para um] gráfico com grau médio , casos especiais de nossas estruturas de dados recuperam dois caminhos extensos com espaço [...] ao custo de tempo de consulta.Θ(logn) O(n3/2) O(n−−√)
Observe que seu oráculo de distância é apenas para gráficos esparsos, mas o limite logarítmico do grau parece plausível. Adicionado bônus, o algoritmo também funciona para gráficos ponderados.
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Você também pode querer dar uma olhada
Pătraşcu, Roditty, Oráculos a distância além do Thorup - Zwick Bound , FOCS 2010
Eles têm um oráculo de distância do tamanho com o trecho 2. Ele suporta consultas em tempo constante.O(n5/3)
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