Teorema da hierarquia para razões de aproximação?

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Como é sabido, os problemas de otimização de NP-hard podem ter muitas proporções de aproximação diferentes, variando de ter um PTAS a não ser aproximado em nenhum fator. No meio, que tem várias constantes, , p ó l y ( n ) , etc.O(logn)poly(n)

O que se sabe sobre o conjunto de relações possíveis? Podemos provar qualquer tipo de "hierarquia de aproximação"? Formalmente, para que funções e g ( n ) , podemos provar que existe um problema com relação aproximação f ( n ) alfa < g ( n ) ?f(n)g(n)f(n)α<g(n)

No caso em que , existe um problema com a razão de aproximação exatamente α ?α=O(1)α

Jeremy Hurwitz
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Uma prova desse teorema provavelmente se assemelharia a sabedoria.weizmann.ac.il/~oded/p_testHT.html . Dado um problema com o limite de aproximação conhecido , tornamos o problema "mais fácil" de alguma forma, presumivelmente usando alguma forma de preenchimento, para obter um problema com o limite de aproximação f ( α ) . αf(α)
22411 Jeremy Hurwitz
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e p o l y ( n ) não são constantes. O(logn)poly(n)
Tyson Williams
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@TysonWilliams: Eu acho que ele quis dizer que entre PTAS e nenhuma aproximação existem constantes, log e poli (n) etc
Suresh Venkat
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Você não precisaria descartar transformações triviais em que uma aproximação para minimizar f imediatamente é αaproximação α para minimizarα ? f
Suresh Venkat
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Quanto à sua última pergunta sobre α = O (1), o limite apertado foi mostrado para muitos problemas, como empacotamento de lixeiras, programação de máquinas (iris.gmu.edu/~khoffman/papers/set_covering.html)
Gopi

Respostas:

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Há uma hierarquia de aproximação, as principais exemplos conhecidos: FPTAS EPTAS PTAS APX . Mas por falta de aproximação, também existe o NPO-PB .

Existem muitos resultados sobre o conjunto de proporções possíveis, provenientes de resultados como este:

EPTAS FPTAS, a menos que P = N P ,P||CmaxP=NP

para definir problemas difíceis de APX / NPO-PB.

Algumas referências:

  • SOBRE PTAS: M. Cesati e L. Trevisan. Sobre a eficiência de esquemas de aproximação de tempo polinomial, 1997.
  • Em NPOPB: V. Kann. Limites inferiores fortes na proximidade de alguns problemas de maximização de NPO PB-complete

Mas sugiro que o melhor seja verificar o Zoológico da Complexidade, pois ele tem muito mais informações e referências sobre esses exemplos, até a Wikipedia

α=O(1)

Gopi
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Ainda acho que o comentário de Suresh abaixo da pergunta é suficiente para mostrar que qualquer proporção é possível. Se você não está convencido disso, pode olhar para os Problemas de satisfação com restrições booleanas (CSPs), por exemplo.

P:{0,1}k{0,1}knkx1,,xnmP(λ1,,λk)λi3SATP(x1,x2,x3)=x1x2x3ρ(P)2kP3SAT7/8ρ(P)Pρ(P)ρ(P)+ϵϵ>0

ρ(P)Pρ(P)P

Por Austrin e Johan Håstad, Independência e Resistência Aleatoriamente Suportadas, SIAM Journal on Computing, vol. 40, n. 1, pp. 1-27, 2011.

αααρ(P)=α

MCH
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