Algoritmos de redutibilidade e subexponencial do SERF

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Eu tenho uma pergunta sobre a redutibilidade do SERF de Impagliazzo, Paturi e Zane e algoritmos subexponenciais. A definição de redutibilidade do SERF fornece o seguinte:

Se é SERP-redutível a P 2 e ali ó ( 2 ε n ) algoritmo para P 2 para cada ε > 0 , então não é O ( 2 ε n ) algoritmo para P 1 para cada ε > 0 . (O parâmetro de dureza para ambos os problemas é indicado por n .)P1P2O(2εn)P2ε>0O(2εn)P1ε>0n

Algumas fontes parecem sugerir que o seguinte também é válido:

Se é SERP-redutível a P 2 e ali ó ( 2 S ( n ) ) algoritmo para uma 2 , então não é O ( 2 S ( n ) ) algoritmo para P 1 .P1P2O(2o(n))A2O(2o(n))P1

Minha pergunta é: essa afirmação realmente vale e, se existir, existe uma redação da prova em algum lugar?

Como pano de fundo, tenho tentado entender a área em torno da hipótese do tempo exponencial. O IPZ define problemas subexponenciais como aqueles que possuem algoritmo O ( 2 ε n ) para cada ε > 0 , mas aparentemente isso não é suficiente à luz do conhecimento atual para implicar a existência de um algoritmo subexponencial para o problema. A mesma lacuna parece estar presente na redutibilidade do SERF, mas estou parcialmente esperando que algo esteja faltando aqui ...O(2εn)ε>0

Janne H. Korhonen
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Respostas:

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EDIT: Como apontado por Ryan nos comentários, um problema pode ter um algoritmo não uniforme com o funcionamento de tempo para qualquer constante ε > 0 (o algoritmo tem acesso a ε ), mas nenhum uniforme 2 o ( n ) o tempo algoritmo.O(2ϵn)ϵ>0ϵ2o(n)

Como uma redução SERVO é uma família de reduções Turing, um para cada , concluo que eles só podem ser usadas para obter S ( 2 ε n ) algoritmos de tempo a partir de O ( 2 ε n ) ou 2 o ( n ) de tempo algoritmos.ϵ>0O(2ϵn)O(2ϵn)2o(n)


O seguinte teorema é provado por Chen et al. [2009] .

Teorema 2.4 . Seja uma função não decrescente e ilimitada e Q seja um problema parametrizado. Então, as seguintes afirmações são equivalentes: (1) Q pode ser resolvido no tempo O ( 2 δ f ( k ) p ( n ) ) para qualquer constante δ > 0 , onde p é um polinômio; (2) Q pode ser resolvido no tempo 2 o ( f ( k ) ) qf(k)Q
QO(2δf(k)p(n))δ>0p
Q , onde q é um polinômio.2o(f(k))q(n)q

Tomando , obtemos que um problema tem um algoritmo de tempo O ( 2 ϵ n ) para cada ϵ > 0 se e somente se ele tiver um algoritmo de tempo 2 o ( n ) .f(k)=nO(2ϵn)ϵ>02o(n)

É mencionado no artigo de Chen et al. que essa equivalência havia sido intuitivamente usada antes, mas estava causando alguma confusão entre os pesquisadores.

Serge Gaspers
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Apenas uma observação: existem outras condições que precisam ser assumidas para que a prova funcione. Por um lado, deve ser eficientemente computável. Em segundo lugar, deve haver um algoritmo uniforme único A que atinja 2 δ f ( k ) para cada δ (pense em δ como outra entrada para A ). É inteiramente possível que, sem essas condições, um problema possa satisfazer (1) mas não (2). fA2δf(k)δδA
Ryan Williams
Certo. Tomando o Teorema 2.4 fora de seu contexto, essas duas condições foram perdidas. No papel, nota de rodapé 1 dá a condição de e a segunda condição é dada na Nota 2.f
Serge Gaspers
Isso praticamente responde a todas as minhas perguntas sobre isso! Muito obrigado. Como uma observação interessante, embora pareça que as reduções do SERF não preservem a existência de algoritmos subexponenciais, parece que o lema de Sparsification do IPZ é de fato suficientemente forte para fornecer um algoritmo de ao k-SAT se existe um algoritmo de 2 o ( m ) . 2o(n)2o(m)
Jan11 H. Korhonen
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Uma observação final no caso de alguém se deparar com isso mais tarde: aparentemente algumas fontes usam a definição "não uniforme" de tempo subexponencial (para todos existe um algoritmo O ( 2 ε n ) ) e outras usam a definição "uniforme" (há 2 o ( n ) algoritmo.) Em particular, o IPZ usa o primeiro. Para o último, você deve alterar a definição de redução SERF para que o parâmetro ε seja dado à redução como entrada; compare com o teorema acima de Chen et al. Para detalhes, consulte, por exemplo, o Capítulo 16 da Teoria da Complexidade Parametrizada (2006), de Flum e Grohe. ε>0O(2εn)2o(n)ε
Janne Korhonen H.
Também parece que Flum e Grohe dão uma prova do teorema na resposta em seu livro; veja Lema 16.1.
Janne H. Korhonen