As triangulações de Delaunay no plano maximizam o ângulo mínimo em um triângulo. O mesmo vale para a triangulação de pontos de Delaunay na esfera? (aqui o "ângulo" é o ângulo local em uma vizinhança ao redor do vértice no ápice).
Inspirado, mas não relacionado a esta pergunta no Math.SE.
cg.comp-geom
delaunay-triangulation
Suresh Venkat
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Respostas:
PRIMEIRO ARGUMENTO: Esta foi minha primeira resposta. Observe que esse argumento está errado. Veja meu segundo argumento abaixo.
Eu não acho que é verdade. A razão pela qual ele trabalha no plano é que, em um círculo, o ângulo inscrito subtendido por um acorde é metade do ângulo central correspondente. Assim, se tivermos um triângulo com um ângulo pequeno, todos os pontos que formariam um ângulo maior com a aresta oposta estarão dentro do círculo vazio de Delaunay e, portanto, não são um dos pontos na configuração da qual estamos encontrando uma triangulação.
Agora, suponha que você tenha uma triangulação de Delaunay na esfera. Coloque um ponto no centro da esfera e projete todos os pioneiros em um plano. As arestas dos triângulos (grandes círculos na esfera) são levadas para segmentos de linha. Mas os círculos que dão a propriedade da bola vazia são levados às elipses; portanto, se houver um ponto fora da elipse projetada, mas dentro do circulo do triângulo, esse ponto faria um ângulo maior com a aresta.
EDITAR:
Espere um minuto. Esta resposta está completamente errada, porque a projeção central não preserva ângulos. Ainda acho que a conjectura está errada, porque tenho um argumento muito mais complicado de que o teorema dos ângulos inscritos não se sustenta na esfera. Aqui está o argumento:
SEGUNDO ARGUMENTO:
A razão disso no plano é que o ângulo inscrito subtendido por um acorde é metade do ângulo central correspondente. Isso vale porque, no diagrama abaixo, temos eCYX1=1
Para o lugar geométrico dos pontosY fazendo um ângulo constante X1 1YX2 Para ser um círculo, precisamos, portanto, que a diferença de áreas A ( X2CY) - A ( X1 1CY) depende apenas do comprimento do arco X1 1X2 . No entanto, isso é incompatível com a observação de queA ( XCY) é 0 0 para X diametralmente oposto Y e para X= Y , mas cresce para um tamanho máximo intermediário.
Assim, o lócus de pontosY com ângulo constante X1 1YX2 não é um círculo. Isso significa que, para algum triânguloX1 1YX2 podemos encontrar um ponto Y′ fora do circulo de X1 1YX2 então o ângulo X1 1YX2< X1 1Y′X2 . Podemos então usar isso para construir um contra-exemplo da conjectura de que as triangulações de Delaunay na esfera maximizam o ângulo mínimo.
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