Corpo convexo com a norma l2 mínima esperada

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Considere um corpo convexo centrado na origem e simétrico (ou seja, se então ). Desejo encontrar um corpo convexo diferente tal que e a seguinte medida seja minimizada:KxKxKLKL

xf(L)=E(xTx) , onde é um ponto escolhido uniformemente aleatoriamente em L.x

Eu estou bem com a aproximação constante do fator à medida.

Algumas notas - O primeiro palpite intuitivo de que é a resposta está errada. Por exemplo, considere um cilindro fino em dimensão muito alta. Então podemos obter tal que deixando ter mais volume próximo da origem.KKLf(L)<f(K)L

Ashwinkumar BV
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Para o nada vale, o problema parece difícil. Mesmo em 3d não é óbvio como resolvê-lo.
Sariel Har-Peled
É óbvio como fazê-lo em 2D de maneira ideal? Obviamente, em 2D, uma aproximação constante de fatores é desinteressante.
Ashwinkumar BV
Não é óbvio para mim. A aproximação do fator constante é óbvia em qualquer dimensão, aproximando a forma por um elipsóide www.math.sc.edu/~howard/Notes/john.pdf. A constante dependeria da dimensão.
Sariel Har-Peled
Estou mais interessado na aproximação constante de fatores em que a constante não depende da dimensão.
Ashwinkumar BV
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Naturalmente. Mas deixe-me retroceder - mesmo o caso elipsóide não é óbvio. Se você quiser atacar esse problema, essa seria a primeira versão a ser investigada. Intuitivamente, você precisa decidir quais dimensões devem ser ignoradas e quais devem ser expandidas. Parece que a solução natural é o casco convexo da união do elipsóide com outro elipsóide, onde os eixos do novo elipsóide são iguais a algum parâmetro r ou iguais a outro elipsóide.
Sariel Har-Peled

Respostas:

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Se restringirmos e a serem ambos elipsóides, seu problema poderá ser resolvido com precisão com um SDP. Sei que não foi o que você pediu originalmente, mas parece que não temos solução, mesmo para este caso restrito, e talvez possa ajudar em geral.LKL

Então, digamos que é o elipsóide de entrada e estamos procurando encontrar um elipsóide ótimo . Existe um mapa linear st e um mapa st , onde é a bola unitária. Então . Também , onde é o corpo polar de . Convenientemente, e . Segue queJ F E = F B 2 G J = G B 2 B 2 E x J [ x ² 2 2 ] = 1EJFE=FB2GJ=GB2B2EJJEEEE={x:xTFTFx1}J={x:xTLTLx1}JEEJLTLExJ[x22]=1nTr(GTG)EJJEEEE={x:xTFTFx1}J={x:xTGTGx1}JE (e, portanto, ) se e somente se for uma matriz semidefinida positiva.EJGTGFTF

Portanto, o SDP é definido por: dada uma matriz PSD simétrica , encontre uma matriz PSD simétrica st é PSD e é minimizado. pode ser encontrado através da resolução de SDP e, em seguida, uma SVD dará os eixos e eixos de comprimentos .N N - M T r ( N ) N JMNNMTr(N)NJ

Sasho Nikolov
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(Conforme mencionado nos comentários, a seguinte abordagem não funciona. O objeto obtido não é convexo. No entanto, caracteriza um objeto "em forma de estrela" com a distância mínima esperada.)

Eu acho que o objeto ideal seria uma união de e alguma bola centrada na origem. Aqui estão os meus pensamentos. Pela sua definição de , que é a distância da origem à superfície de ao longo de uma direção específica. Eu usei vez de =, porque deixei cair algumas constantes. Agora queremos minimizar sob as restrições quef ( L ) f ( G ) ~ S d - 1R G 0 x d ( x d / x d L )Kf(L)RLL~g(G)rLrKrKg(K)/2£g(K)/2-rKg(K)(rL+ϵ)2

f(L)Sd10rLxd(xd/xLd)dxrLvol(L)dxdSSd1rL2vol(L)dSSd1rL2dSSd1rLdS=defg(L),
rLLg(L)rLrK em qualquer direção. Observe que se ao longo de uma direção for menor que , podemos aumentá-lo um pouco, digamos, aumentá-lo em , para tornar menor. Isso ocorre porque aumentamos o enumerador em , menos que um fator do aumento no denominador. Portanto, podemos pensar em "deformar" gradualmente (aumentando levemente o objeto repetidamente e atualizando ) para diminuir seu valor de . Seja o objeto convexo no final. Então, qualquer pontorKg(K)/2ϵg(K)/2rKg(K)g ( K ) K g ( ) g ( ) K K K g ( K ) / 2 K K g ( K ) / 2(rL+ϵ)2rL2=ϵ(2rL+ϵ)g(K)Kg()g()KKK está na distância da origem, ou seja, é a união de e uma bola com raio .g(K)/2KKg(K)/2

De fato, considere outro objeto convexo tal que . Então , pois caso contrário, podemos aumentar a parte de dentro de para tornar menor. Por outro lado, , porque, caso contrário, pela mesma idéia, podemos reduzir a parte de fora de para tornar menor. Portanto, existe uma solução ideal exclusiva. g ( K ) = g ( K ) K K K K g ( K )Kg(K)=g(K)KKKKg(K)K 'K K * g ( K ' )KKKKKg(K)

user7852
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Talvez esteja faltando alguma coisa, mas por que o objeto é gerado dessa maneira convexo?
Mjqxxxx 6/01/12
@mjqxxxx Você está certo. Como é que eu sinto falta disso ...
user7852
Que tal a seguinte idéia: é sabido que um objeto convexo pode ser aproximado por algum elipsóide, ou seja, existe um elipsóide tal que . Então aproxima de com uma razão aproximada . Para qualquer contenha , . Portanto, se pudermos encontrar o elipsóide ideal contendo , então . Eu não sei como calcular . Mas eu acho que seus eixos estão alinhados com os eixos de e todos os autovalores deE KK EKf(EKKdEKf(K)dLKf(dEK)f(K)dLKEdEKdELEf(E)d2f(L)EdEKf(E)d2f(L)EdEKdEK abaixo de algum limite é aumentado para esse limite.
precisa saber é o seguinte
Concordo que, se L não se restringe a um corpo convexo, é a união de K e uma bola.
Ashwinkumar BV
A idéia de usar elipsóide não lhe dará um fator constante. Pode dar, na melhor das hipóteses, uma aproximação . Minha conjectura é que o casco convexo de com uma bola de raio apropriado é uma aproximação constante do fator. Não tenho certeza de como provar ou refutar a conjectura. LdL
Ashwinkumar BV
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A seguinte solução é baseada nesta premissa / conjectura [a ser comprovada]:

Conjectura : A expectativa de uma função convexa em é menor que a maior entre a expectativa em e a expectativa em .K K conv(KK)KK

[Vamos precisar do acima exposto apenas para convexo, mas isso pode ser verdade em geral]K,K

Pegue agora qualquer conjunto e aplique uma rotação centrada na origem, obtendo . Você terá , porque a rotação deixa o comprimento dos elementos de invariáveis. Se estou certo sobre a conjectura, . Como para qualquer ideal, você pode considerar , onde indica a união em todas as rotações e possui , parece que o ideal pode ser escolhido para ser a menor esfera contendoR R ( K ) f ( K ) = f ( R ( K ) ) K f ( conv ( K R ( K ) ) ) f ( K ) L L = R R ( L ) = conv ( R R ( L ) ) R f ( LKRR(K)f(K)=f(R(K))Kf(conv(KR(K)))f(K)LL=RR(L)=conv(RR(L))Rf(L)f(L)f(L)LK.

Marco
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Seria suficiente provar que para a expectativa de uma função convexa. Que parece fácil. Econv(A)EAEKKmax{EK,EK}
Marco
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Não tenho muita certeza de obter sua resposta. Definitivamente, não é verdade que L possa ser escolhido como a menor esfera que contém K. Considere um cilindro longo e fino em dimensões de comprimento . Então qualquer esfera contendo deve ter . Mas se você construir onde U é uma esfera ou raio aproximadamente obtém aproximadamente . (onde são constantes)t S K f ( S ) t L = c o n v ( K U ) c 1 t / d f ( L ) c 2 t / d c 1 , c 2dtSKf(S)tL=conv(KU)c1t/df(L)c2t/dc1,c2
Ashwinkumar BV