Incorporação isométrica de L2 em L1

Sabe-se que, dado um subconjunto de pontos de (ou seja, dados pontos em com distância euclidiana), é possível incorporá-los isometricamente em .ℓ d 2 n R d ℓ ($n$$\ell_2^d$$n$${\mathbb R}^d$$\ell^{n\choose 2}_1$

A isometria é computável em tempo polinomial (possivelmente aleatório)?

Como existem problemas de precisão finita, a pergunta exata é

Dado um conjunto de pontos em e , existe um mapeamento de computável (possivelmente usando aleatoriedade) em polinômio de tempo em logarítmico em modo que para cada tenhamosn R d ϵ > 0 f : X → R ($X$$n$${\mathbb R}^d$$\epsilon >0$ n1/ϵx,y∈$f: X \to {\mathbb R}^{n\choose 2}$$n$$1/\epsilon$$x,y\in X$

$|| f(x)-f(y)||_1 \leq ||x-y||_2 \leq (1+ \epsilon) \cdot || f(x)-f(y) ||_1$

(Nota: Estou ciente de que um mapeamento com distorção pode ser encontrado com alta probabilidade de polinomial vez em e projetando em linhas aleatórias, mas não tenho certeza se o número de dimensões pode ser reduzido construtivamente para ou mesmo quando é muito maior que e não sei se existe é um método de tempo polinomial para lidar com o caso em que é exponencial em .)n 1 / ϵ O ( ϵ - 2 ⋅ log n ) ($(1+\epsilon)$$n$$1/\epsilon$$O(\epsilon^{-2} \cdot \log n)$ O(N2)1/εn1/ε$n\choose 2$$O(n^2)$$1/\epsilon$$n$$1/\epsilon$$n$

Suresh me pediu para reunir meus comentários acima em uma resposta, então aqui está. Não tenho muita certeza de que seja uma resposta para a pergunta original, pois não é óbvio como torná-lo um tempo polinomial quando a dimensão do espaço euclidiano de entrada é constante. Ele tem pelo menos a vantagem de evitar qualquer problema com como a pergunta original pede, porque não envolve nenhuma aproximação e parece polinomial para a constante .$1/\epsilon$$d$

De qualquer forma: a partir da geometria integral, há uma medida padrão em conjuntos de hiperplanos em espaço euclidiano dimensional que é invariante sob congruências euclidianos. Tem a propriedade de que o comprimento de qualquer curva de comprimento limitado é proporcional à medida dos hiperplanos que cruzam (com multiplicidade, o que significa que se um hiperplano cruza C duas vezes, isso contribui duas vezes para a medida total dos hiperplanos cruzando C ) Em particular, se C é um segmento de linha, a complicação de multiplicidade não surge e podemos normalizar a medida nos hiperplanos que cruzam C para ser exatamente o comprimento de CC $d$$C$$C$$C$$C$$C$$C$$C$. (Os hiperplanos que contêm têm a medida zero, portanto, não se preocupe com a multiplicidade infinita.)$C$

Agora, dado um conjunto de n pontos no espaço d-dimensional, faça uma coordenada para cada uma das partições dos pontos em dois subconjuntos induzidos por um hiperplano que não passa por nenhum dos pontos. Informe os pontos de um lado do valor da coordenada da partição zero e os pontos do outro lado do valor da coordenada da partição iguais à medida do conjunto de hiperplanos que induzem essa partição.$\ell_1$

Se e q são quaisquer dois dos n pontos, deixa K ser o conjunto de hiperplanos atravessam segmento de linha P Q , e deixar K i ser os subconjuntos de K formados por cada partição hiperplana possível que tem p de um lado e q no de outros. Então K é a união disjunta de K i , e as diferenças de coordenadas entre p e q são apenas as medidas dos subconjuntos K i . Portanto, o ℓ $p$$q$$n$$K$$pq$$K_i$$K$$p$$q$$K$$K_i$$p$$q$$K_i$$\ell_1$A distância entre as coordenadas de e q (a soma das medidas de K i ) é a medida de K , que é apenas a distância ℓ 2 original entre p e q .$p$$q$$K_i$$K$$\ell_2$$p$$q$

Para geômetros computacionais, uma descrição alternativa da mesma construção pode ser útil: use a dualidade projetiva para transformar os pontos de entrada em n hiperplanos e separar os hiperplanos em pontos. A medida da geometria integral em conjuntos de hiperplanos é então transformada em uma medida mais padrão em conjuntos de pontos, a distância entre p e q se dualiza à medida da cunha dupla entre dois hiperplanos, e o arranjo do hiperplano divide essa cunha dupla em células menores . O valor da coordenada para um ponto é a medida de uma das células no arranjo (se o hiperplano duplo estiver abaixo da célula da coordenada) ou zero (se o hiperplano duplo estiver acima da célula). Portanto, o $n$$n$$p$$q$ distância entre p e q é apenas a soma das medidas das células na cunha dupla, que é a mesma que a medida de toda a cunha dupla. Esse ponto de vista duplo também facilita o cálculo da dimensão da incorporação encontrada dessa maneira: é apenas o número de células na disposição do hiperplano, que é O ( n d ) , ou mais precisamente no máximo ∑ d i = 0 ($\ell_1$$p$$q$$O(n^d)$ .$\sum_{i=0}^d{n\choose i}$

Até agora, isso fornece uma incorporação completamente determinística e exata em . Mas queríamos uma dimensão menor, ℓ ($\ell_1^{O(n^d)}$. Aqui é ondeentrao comentário de Luca sobreo teorema de Carathéodory. O conjunto demétricas representativasdeℓ1forma um cone poliédrico no($\ell_1^{n\choose 2}$$\ell_1$ espaço dimensional de todas as funções, de pares de pontos não ordenados a números reais, e o argumento geométrico acima diz que a métrica euclidiana pertence a esse cone. Os pontos nos raios extremos do cone sãopseudométricosunidimensionaisℓ1(nos quais os pontos são divididos em dois conjuntos, todas as distâncias em um único conjunto são zero e todas as distâncias na divisão são iguais), e Carathéodory diz que qualquer ponto dentro do cone (incluindo aquele com o qual nos preocupamos) pode ser representado como uma combinação convexa de pontos em raios extremos cujo número é no máximo a dimensão do espaço ambiente ($n\choose 2$$\ell_1$ . Mas uma combinação convexa de no máximo ($n\choose 2$ métricasunidimensionaisℓ1éℓ ($n\choose 2$$\ell_1$métrica.$\ell_1^{n\choose 2}$

Por fim, como podemos realmente computar o incorporação dimensional? Neste ponto, não temos apenas um ponto no ($n\choose 2$ cone convexo dimensional deℓ1métrica (a métrica de distância com a qual começamos), mas também temos um conjunto deO(nd)pontos extremos do cone (correspondentes às partições da entrada em dois subconjuntos induzidos por hiperplanos) ) de forma que nossa métrica seja uma combinação convexa desses pontos extremos - paradpequeno, essa é uma grande melhoria em relação aos2n-2raios extremos que o cone possui em geral. Agora, tudo o que precisamos fazer é aplicar um algoritmo ganancioso que elimina pontos extremos do nosso conjunto, um por um, até apenas ($n\choose 2$$\ell_1$$O(n^d)$$d$$2^n-2$ deles são deixados. Em cada etapa, precisamos manter como invariável que nossa métrica ainda está dentro do casco convexo dos pontos extremos restantes, o que é apenas um problema linear de viabilidade de programação. Se fizermos isso, o Carathéodory garantirá que sempre exista um conjunto de ($n\choose 2$ pontos extremos cujo casco convexo contém a métrica de entrada.$n\choose 2$