Existe uma versão contínua do teorema da repetição paralela

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O teorema da pretensão paralela de Raz é um resultado importante no PCP, na aproximação, etc. O teorema é resumido da seguinte forma.

G=(S,T,UMA,B,π,V)S,T,UMA,BπS×TV:S×T×UMA×B{0 0,1}n

v(G)=maxhUMAHUMA,hBHBs,tπ(s,t)V(s,t,hUMA(s),hB(t))
n jogo dobrado Gn=(Sn,Tn,An,Bn,πn,Vn) . O teorema diz que v(G)1ϵ, então v(Gn)(1ϵc)Ω(nlogmax{|A|,|B|}) .

Minha pergunta é o que acontece se os conjuntos forem infinitos, em um espaço contínuo. Diga se S,T,A,B são subconjuntos de um espaço, digamos Rn , ou mais espaços abstratos. Todo o resto é o mesmo. O teorema de Raz fornece apenas um limite superior trivial 1 uma vez que os tamanhos dos conjuntos de respostas são infinitos. Obviamente, o valor n vezes é delimitado por cópia única. A diminuição exponencial também acontece em caso contínuo? Seria mais interessante restringir HA,HB a serem coleções de funções contínuas ou funções C ou funções mensuráveis?

pyao
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Respostas:

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A diminuição exponencial também acontece em caso contínuo?

No. Feige e Verbitsky [FV02] mostrou que, para cada n , há um jogo de L (com conjuntos finitos de perguntas e respostas) tais que v ( L ) ≤3 / 4 e v ( L n ) ≥1 / 8. Como a sua formulação generaliza os jogos com conjuntos finitos de perguntas e respostas de qualquer tamanho, a repetição paralela (muitas vezes finitas) não pode diminuir o valor de um jogo de 3/4 para 1/8.

[FV02] Uriel Feige e Oleg Verbitsky. Redução de erro por repetição paralela - Um resultado negativo. Combinatorica , 22 (4): 461–478, outubro de 2002. doi: 10.1007 / s00493-002-0001-0 .

Tsuyoshi Ito
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