Prova de que todo circuito com diodos tem exatamente uma solução

Considere um circuito eletrônico que consiste em componentes lineares mais um número de diodos ideais. Por "ideal", quero dizer que eles podem ter polarização direta (ou seja, e ) ou polarizados (ou seja, e ).i D ≥ 0 v D ≤ 0 i D = $v_D=0$$i_D\geq 0$$v_D\leq 0$$i_D=0$

Esses circuitos podem ser calculados declarando arbitrariamente cada diodo com polarização direta ou polarizada reversa e definindo para cada diodo polarizado para frente e para cada diodo polarizado reversamente. Após o cálculo do circuito linear resultante, temos que verificar se a cada diodo polarizado para a frente e a cada diodo polarizado para a frente é satisfeito. Se sim, essa é a nossa solução. Caso contrário, temos que tentar outro conjunto de opções para os diodos. Portanto, para os diodos , podemos calcular o circuito calculando no máximo circuitos lineares (geralmente muito menos).i D = 0 i D ≥ 0 v D ≤ 0 N 2 $v_D=0$$i_D=0$$i_D\geq 0$$v_D\leq 0$$N$$2^N$

Por que isso funciona? Em outras palavras, por que sempre há uma opção que leva a uma solução válida e (mais interessante) por que nunca existem duas opções que levam a soluções válidas?

Deveria ser possível provar que, no mesmo nível de rigor com que, por exemplo, o teorema de Thevenin é comprovado nos livros didáticos.

Um link para uma prova na literatura também seria uma resposta aceitável.

Suponho que isso seja um problema artificial, em que exista um circuito com passivos conhecidos e alguns I's e Vs sejam dados e pontos marcados para diodos de direção desconhecida. Minha resposta é:

Esperamos que os criadores dos problemas tenham se restringido a casos em que suas suposições levam a suas conclusões.

Poderia ser teoricamente insolúvel por ter um diodo estranho; considere aterrar os dois lados de um diodo. Pode haver casos não triviais usando aterramento virtual ou outras tensões iguais que podem ser difíceis de detectar.

Certamente poderia existir circuitos válidos que diferem apenas pela direção de um diodo para qualquer valor de "circuito válido" que inclua diodos. Considere a possibilidade de modelar comutadores usando essas regras ideais de diodo. Como você pode decidir se um comutador deveria estar ligado ou desligado? Espero que as correntes e tensões fornecidas dêem dicas suficientes. E espero que eles não tenham dado dicas conflitantes.

Isso muda a pergunta para "Como você pode saber se uma instância tem informações suficientes para ser exclusiva?" Lembro-me de que a resposta era algo como você precisa de um independente para cada desconhecido independente, mas tenho certeza de que não pude provar isso ou fazer um teste geral para a independência de qualquer um.

Para diodos ideais, pode haver várias soluções.

Contra-exemplo trivial: tome qualquer circuito que contenha diodos ideais que você resolveu. Agora substitua um dos diodos ideais por, se conduzindo para frente, um par de diodos conectados em paralelo ou com polarização reversa, um par em série, mantendo a orientação nos dois casos. Como você resolve a distribuição de corrente ou tensão entre os dois? Você não pode, o modelo de diodo ideal leva a um casco convexo de soluções igualmente válidas.

Não tenho uma prova rigorosa, mas a ideia geral é que, desde que os componentes de um circuito tenham curvas VI que são funções de valor único (isso inclui diodos e componentes lineares), pode haver apenas uma solução para o circuito em geral.

Eu acho que é bem simples:

você pode tratar os diodos ideais com polarização direta como curtos e os diodos ideais com polaridade reversa como circuitos abertos. Portanto, em qualquer caso, você obtém circuitos apenas com componentes lineares (porque todos os diodos resolvem abrir circuitos ou curtos) e sabe-se que esses circuitos lineares têm exatamente uma solução.

Na entrada de linhas de carregamento da Wikipedia

Existe apenas uma solução única devido à natureza do problema. Isso é melhor ilustrado graficamente, na forma de linhas de carga. O diodo possui uma equação que descreve a relação entre a corrente através dele (eixo y) e a tensão através dele (eixo x). Aqui, o eixo x é a tensão através do diodo.

Veja o que acontece com a corrente no resistor conforme a tensão no diodo muda. Se a tensão for Vdd através do diodo, não haverá queda de tensão no resistor, pois a tensão no resistor e no diodo deve somar a Vdd) e, portanto, haveria corrente zero no resistor (Lei de Ohm). Da mesma forma, se houvesse uma queda de tensão zero no diodo, haveria Vdd no resistor e a corrente no resistor seria Vdd / R.

Agora, sabemos que essas são situações irreais, pois a corrente no diodo e no resistor deve ser igual. Dada a equação para o resistor (linear) e a equação para o diodo (não linear, mas monotônico), podemos ver no gráfico que isso só pode acontecer em um ponto único, a interseção das duas curvas.

Assim, a solução simultânea de três equações (o resistor, o diodo e o fato de que as duas correntes devem ser iguais) fornece uma solução única.

Este método funcionará para todos os elementos do circuito.

É um pouco diferente para os diodos de corrente reversa, pois a corrente do resistor segue o contrário e um quadrante precisa ser adicionado ao gráfico.

A 'prova' disso funcionaria apenas para certos circuitos. Se você tiver algum ganho e os únicos elementos não lineares forem os próprios diodos, poderá ter vários estados possíveis. Por exemplo (pode não ser o exemplo mais simples possível).

Esse circuito funcionará com um amplificador operacional perfeitamente linear ideal e a saída nunca será infinita ou saturada; no entanto, com 0V, pode ser cerca de +6 ou cerca de -6 na saída, com um par ou outro de diodos conduzindo . Também funcionará com diodos 'quase ideais' que apresentam uma queda direta quando ativados e sem outras não-idealidades.

(e, claro, os diodos dos túneis são um caso especial com sua curva IV não monotônica).

Provavelmente, a prova precisaria apenas de elementos passivos, como resistores (sem corrente dependente ou fonte de tensão). Ou talvez apenas com diodos ideais com 0V Vf.

Esta não é uma prova completa, mas talvez o coloque no caminho certo:

Se houver várias soluções, há pelo menos um diodo que pode ser polarizado para frente ou para trás. Considere um desses diodos. Em uma determinada solução, ela é polarizada para frente ou para trás. Vamos definir as tensões em seus terminais, Va e Vb, de modo que, se for polarizado para frente, Va> = Vb, e se for polarizado reversamente, Vb> = Va. No caso de polarização direta ou reversa, o resto do circuito (RotC) produz essas tensões nos terminais do diodo.

Como você declarou que o circuito consiste em elementos e diodos lineares, o RotC é uma rede puramente linear ou inclui mais diodos.

Se o RotC é uma rede puramente linear, ele possui apenas uma solução e a única solução para as restrições Va> = Vb e Vb> = Va é Va = Vb.

Se o RotC incluir mais diodos com várias soluções possíveis, considere o próximo diodo. Novamente, ele está conectado a uma rede linear ou a uma rede com mais diodos com várias soluções possíveis.

Se assumirmos que há um número finito de diodos no circuito ...