Uma descontinuidade faz com que um sinal tenha componentes sinusoidais infinitos, mas uma onda triangular é contínua, eu estava participando de uma aula na qual um instrutor disse que, como a onda triangular é contínua, ela pode ser representada por um número finito de componentes senoidais e também mostrou uma adição finita de múltiplas frequências de sinusóides, que deram a forma de uma onda triangular pura.
O único problema que tenho em mente é que a derivada de uma onda triangular não é contínua, pois é uma onda quadrada e, portanto, precisaria de soma infinita de sinusóides, portanto, se derivarmos os dois lados da fórmula da série Fourier de uma onda triangular , teríamos uma onda quadrada sendo mostrada como uma soma do número finito de sinusóides. Isso não seria incorreto?
Respostas:
Cite a partir daqui : -
Mudar a inclinação descontinuamente também significa uma faixa infinita de componentes sinusoidais.
Por exemplo, se você integra uma onda quadrada no tempo, produz uma onda triangular, mas todas as hamonias da onda quadrada original ainda estão presentes após a integração no tempo: -
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Você não entendeu direito ou o instrutor falou errado. Não é suficiente que o sinal em si seja contínuo, mas todos os derivados também devem ser contínuos. Se houver descontinuidade em qualquer derivada, o sinal de repetição terá uma série infinita de harmônicos.
Um triângulo é contínuo, mas sua primeira derivada é uma onda quadrada, que não é contínua. Uma onda triangular, portanto, possui uma série infinita de harmônicos.
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Prova matemática:
Tome uma função composta da soma ponderada de uma série finita de componentes seno / cosseno.
Sua derivada também é uma soma ponderada de uma série finita de componentes seno / cosseno. Mesmo se você derivar qualquer número de vezes.
Como o seno e o cosseno são contínuos, a função e todos os seus derivados são contínuos.
Assim, uma função com descontinuidade em qualquer um de seus derivados não pode ser construída com uma série finita de componentes seno / cosseno.
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Boas respostas abundam aqui, mas isso realmente depende da sua interpretação de "pode ser representada por" .
É preciso entender que uma onda triangular é uma construção matemática teórica que não pode realmente existir na realidade.
Matematicamente falando, para obter uma onda triangular pura, seria necessário um número infinito de ondas senoidais harmônicas, mas para obter uma representação de uma onda triangular, a maioria desses componentes é pequena demais para importar, se perde no ruído de fundo do ou sejam de alta frequência para não serem mais transmissíveis.
Como tal, na prática, você só precisa de um número finito para obter uma representação utilizável. Quão boa você quer que essa representação dite quantos harmônicos você precisa usar.
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Outra abordagem.
Vamos chamar x (t) a onda triangular e (t) sua derivada, que é uma onda quadrada, portanto descontínua.
Se x (t) fosse uma soma finita de sinais sinusoidais, sua derivada, pela linearidade dessa operação, seria uma soma finita de derivadas de sinais sinusoidais, ou seja, novamente uma soma finita de sinais sinusoidais.
Mas este último sinal não pode ser a onda quadrada y (t), porque uma soma finita de sinais sinusoidais é contínua. Portanto, temos uma contradição.
Portanto x (t) deve ter infinitos componentes de Fourier.
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Proponho um teste muito mais simples para ser usado na prática. Se a onda tiver cantos afiados, será necessário construir componentes sinusiodais infinitos.
Por quê? Porque uma série finita de sinusíodos não pode fazer uma curva acentuada. Isso é comprovado pela indução da regra de decomposição de somas (ou seja, Σ (a + b) = Σ a + Σ b para todos os somatórios finitos e todos os somatórios infinitos incondicionalmente convergentes).
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O conjunto de funções que são expressáveis por uma série finita de Fourier são:
Para todos os conjuntos finitos de índices N . Termo-a-termo de diferenciação mostra que os derivados é (1) contínuo e (2) também em F . Uma vez que o derivado da onda triangular não é contínua, a função da onda triangular não é em F .
Esta prova é baseado fora de descontinuidade, mas a maioria das funções contínuas também não pertencem a F . Como nenhuma função polinomial ou exponencial pode ser expressa como uma soma finita de senos e cossenos, os únicos membros de F são aqueles escritos explicitamente na forma acima.
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