Por que, em um circuito passivo com uma entrada sinusoidal, todas as tensões e correntes têm o mesmo comportamento sinusoidal que a entrada?

Eu sei que em qualquer circuito composto por elementos passivos lineares e uma entrada sinusoidal, todas as tensões e correntes através e através de qualquer elemento exibem o mesmo comportamento e frequência sinusoidal que a entrada; é assim que os filtros passivos funcionam de fato. Mas não consigo descobrir ou encontrar uma prova concreta / direta de por que isso acontece, se não uma observação clara.

Eu tenho despejado meu cérebro e, eventualmente, encontrei uma boa abordagem matemática para provar isso e decidi responder minha própria pergunta. Nesse circuito, resolver qualquer tensão / corrente através / através de qualquer componente (chamarei de ) sempre o levaria a construir uma equação diferencial sempre linear, com coeficientes constantes (devido às propriedades lineares dos componentes passivos) e não homogêneo (devido à entrada sinusoidal). Essa equação diferencial sempre terá esta forma: a d n$f$ondea. . . ksão constantes (combinações de indutância, resistência, etc.),né a ordem da equação diferencial (que reflete o número de elementos de armazenamento de energia no circuito) eCsin(ωt+θ)é uma função sinusoidal generalizada que descreve a entrada. Uma solução geral para esta equação diferencial sempre terá esta forma:f=

$$a\frac{d^nf}{dt^n}+b\frac{d^{n-1}f}{dt^{n-1}}+...+j\frac{df}{dt}+kf=C\sin{(\omega t+\theta)}$$ $a...k$$n$$C\sin{(\omega t+\theta)}$ $$f=\text{(general homogeneous solution)}+\text{(particular solution)}$$ onde a solução particular que é uma função sinusoidal da mesma frequência! Agora, na análise de circuitos CA, estamos sempre olhando para o circuito em estado estacionário, quando a solução homogênea se aproxima de zero (o que inevitavelmente acontece por causa das resistências no circuito).$=A\sin{(\omega t+\theta)}+B\cos{(\omega t+\theta)}$

Isso é verdadeiro apenas para circuitos LTI (Linear Time-Invariant). Se você possui um componente não ideal (e todos eles são em um grau ou outro), verá harmônicos da frequência de entrada na saída. Os indutores tendem a ser os piores do grupo, mas todas as partes passivas têm esse comportamento. Por exemplo, os capacitores podem exibir um forte coeficiente de tensão e não são invariantes no tempo devido à absorção dielétrica.

Para uma prova matemática direta (assumindo aproximadamente o segundo ano de ensino superior na Universidade), você pode ler estas notas do curso de Berkeley (EECS20N: Sinais e Sistemas). Você pode baixar o texto inteiro aqui .

Isso acontece porque uma onda senoidal é apenas uma linha no espectro de frequência e não importa o que você faça usando um filtro ou amplificador linear, tudo o que acontece é que a fase ou amplitude muda.

Se fosse uma onda quadrada (harmônicos infinitos), a aplicação de um filtro atenuaria ou atenuaria algumas frequências mais do que outras e a onda quadrada perderia sua forma quadrada reconhecível.

Harmônicas de onda quadrada: -

Fonte Gif

A razão básica é que as equações constituintes dos componentes ideais R, L e C são lineares, equações invariantes no tempo, envolvendo apenas derivadas e integrais (ambas as operações lineares) e que o seno e o cosseno mudam para outros senos e cossenos quando atuam sobre esses operadores lineares.

A derivada e a integral de uma função sinusoidal é outra função sinusoidal da mesma frequência (só pode mudar em amplitude e fase). KCL e KVL só podem levar a somas algébricas de tais funções sinusoidais, e essa operação só pode produzir outra função sinusoidal. Portanto, no final, quando você conecta R, L e C em uma rede, uma entrada sinusoidal sempre leva a uma saída sinusoidal.

Veja minha outra resposta aqui .

Tudo isso é uma conseqüência direta da auto-similaridade da função exponencial (relacionada a senos e cossenos pela equação de Euler). Você pode ler o primeiro capítulo de Giorgi, A física das ondas, para obter uma explicação completa sobre isso.

(Observe que essa propriedade de se transformar em uma cópia em escala e com desvio de tempo em si mesma em um intervalo que varia de $t=-\infty$ para $t=+\infty$suas funções sinusoidais generalizadas e exclusivas - todas as outras funções acabam sendo 'deformadas' pelo circuito linear invariante no tempo. Soluções de um sistema linear que são cópias em escala de si mesmas como em$A \ x = \lambda \ x$ (Onde $\lambda$é um escalar complexo que carrega informações sobre atenuação e mudança de fase) são chamados de características ou soluções próprias ou próprias dos sistemas. Eles podem ser usados ​​para construir uma base ortogonal com a propriedade de que qualquer outra função (bem comportada) possa ser decomposta como uma soma generalizada desses tijolos elementares - e isso levará você diretamente ao território da série Fourier, mas isso é outra história).

Uma explicação concisa é dada na primeira resposta a esta pergunta no Math SE: Por que usamos funções trigonométricas nas transformadas de Fourier, e não outras funções periódicas?

As funções básicas de Fourier $e^{iωx}$ são funções próprias do operador shift $S_h$ que mapeia uma função $f(x)$ para a função $f(x−h)$: $e^{iω(x−h)}=e^{−iωh} e^{iωx}$ para todos $x∈R$.

This is true only when restricting passive elements to R,L,C, and maybe crystals that are properly driven - and even then, there are two exceptions, see below. Intentional and unintentional diodes, varistors, thermistors with a thermal mass, and other non-linear elements can quickly introduce distortions to a pure sinusoidal inputs. Overdriven crystals or ceramic filters might also behave rather nonlinear. If including two-terminal elements with negative resistance (gas discharge tubes, tunnel diodes) in the passive category, even more possibilities exist.

The exceptions:

As partes do mundo real tendem a ter imperfeições que as fazem se comportar um pouco como alguns elementos não lineares. Os resistores podem ter comportamento de "termistor com massa térmica" e até "varistor". Capacitores podem ter dependência de tensão em seu valor devido a efeitos piezoelétricos, campos elétricos produzindo força mecânica, efeitos químicos (em eletrolíticos). Além disso, alguns efeitos semelhantes a eletretos parecem estar documentados para capacitores. As juntas de metal com metal podem desenvolver um comportamento semelhante ao diodo. Os indutores podem tornar-se não-lineares através da saturação do núcleo, interação do campo magnético com objetos metálicos próximos, etc.

Todos os componentes resistivos que carregam uma corrente exibem alguns comportamentos geradores de ruído, cujos limites inferiores são definidos pela física rígida.

Lembre-se de que todos os sinais repetitivos aparentemente não sinusoidais da vida real podem ser perfeitamente descritos como uma soma de ondas senoidais de freqüências e fases variadas.

Ao procurar a conexão com a natureza, você terá que andar em círculos: as ondas senoidais são o principal ingrediente para fazer círculos e ovais e arredondar coisas, de acordo com os geeks da matemática (se você deseja desenhar um círculo em um computador, geralmente usa o seno / funções do cosseno ou use o teorema de pitágoras diretamente de alguma maneira ...). A natureza faz muitas coisas redondas (cabelos, caules de plantas, cerejas, manchas de cereja, tornados etc.) e mantém um amplo suprimento de ondas senoidais para esse fim.

Um 'circuito' é geralmente considerado uma rede de componentes, com uma porta de 'entrada' e uma 'saída'. Com a teoria de redes, como a Lei de Ohms, você pode derivar uma equação, a 'função de transferência', que descreve a saída em termos de entrada. Com componentes 'lineares', você sempre encontrará uma função de transferência 'linear'.

Vamos descrever alguns componentes lineares com funções como output = F(input), output2 = G(input2)etc. Então a combinação de tais componentes leva a uma função combinada como output2 = G(F(input1)). Como ambas as funções são lineares, portanto, da formay = a * x + b , essas combinações também são lineares.

When applying a sinusoidal input signal to the linear network, the output can be amplified by the factor a, and shifted by voltage b. With complex math, or differential equations you can even get 'phase shift', but not a different frequency, because the derivative of a sine has the same frequency.

Do you want this even more formal?

Either your premise is false or you have not properly articulated the boundary conditions.

Consider a simple passive device such as a diode. It will exhibit a non-linear transfer characteristic resulting in a non-sinusoidal output for a given

Also consider an ideal resonant (LC) circuit with a transfer function resulting in zero output - thus non-sinusoidal.

The eigenfunctions of linear time invariant systems (and passive networks generally are of that kind) are complex exponentials, and their real superpositions are sinoids of arbitrary phase.

An eigenfunction is a function which will only change by a constant (in this case, complex) factor when put through a system. Linear systems are those where the output corresponding to the sum of several inputs corresponds to the sum of the output of the individual inputs, so you can always analyze them by expressing their input as a convenient sum. If this sum can be a sum expressed in an orthogonal eigenfunction basis, things become so much easier.

Hello Fourier analysis.