Por que o aumento da taxa de amostragem facilita a implementação de um filtro anti-aliasing?

De uma resposta a uma pergunta sobre taxa de amostragem e filtro de suavização de serrilhado, li o seguinte:

Quanto mais você se aproxima da taxa de amostragem mínima teórica, mais difícil o filtro analógico fica praticamente de realizar.

Se não me engano, diz que se a nossa taxa de amostragem está próxima da taxa de amostragem mínima teórica exigida, será mais difícil projetar o filtro anti-aliasing analógico.

Tenho certeza de que faz sentido para muitos, mas não consegui descobrir o que se entende aqui e por que é isso. Isso poderia ser explicado com um exemplo de uma maneira mais simples?

À medida que você diminui a frequência de amostragem, há menos separação entre as imagens no domínio da frequência.

fonte

Lembre-se de que a repetição do espectro ocorre na frequência de amostragem. Quando as imagens estão mais próximas, você precisa obter mais atenuação no seu filtro anti-aliasing. O filtro deve fazer a transição da banda passante para a parada antes que a próxima imagem ocorra.

fonte de esta apresentação

Para reconstruir um sinal na região digital a partir da região analógica, você precisa de pelo menos duas amostras em cada ciclo da frequência mais alta presente no sinal analógico. Por exemplo, nos CDs, eles usam 44,1 kHz para amostrar uma frequência máxima na banda de áudio de 20 kHz. Eles poderiam ter usado 40 kHz, mas isso está no limite e o filtro anti-alias seria impossível.

Com uma taxa de amostragem de 44,1 kHz, o sinal de áudio de frequência teoricamente mais alta que poderia ser capturado digitalmente sem a ocorrência de aliasing seria 22 kHz. Então, o que aconteceria se 24 kHz fossem alimentados ao sistema de amostragem digital 44,1 kHz, você pode perguntar.

Isso se tornaria um sinal de 20 kHz na região digital e poderia piorar. E se o sinal fosse de 30 kHz? Isso se tornaria 16 kHz no mundo digital.

Isso ocorre porque a subamostragem cria uma saída com alias: -

Imagem de daqui .

Para evitar isso, use um filtro que forneça atenuação adequada entre 20 kHz e 24 kHz. Digo 24 kHz porque um sinal de 24 kHz está exatamente no limite de se tornar um sinal de áudio real de 20 kHz. Portanto, para aquelas pessoas com excelente audição de até 20 kHz (não mais eu), o filtro anti-alias deve fornecer atenuação praticamente zero a 20 kHz e talvez até 80 dB (ou mais) atenuação a 24 kHz.

Esse é um filtro de pedidos razoavelmente alto e a maioria dos engenheiros que lidam com sistemas como esse prefere uma proporção de mais de 3: 1 para taxa de amostragem e frequência analógica mais alta.

Seu filtro antialias tem três bandas

1) Banda de passagem, de DC até Fwanted
2) Banda de parada, de Fsample-Fwanted até o infinito
3) Banda de transição, de Fwanted para Fsample-Fwanted

O custo de um filtro (número de estágios, componente Q, número de multiplicadores) é aproximadamente proporcional ao recíproco da banda de transição e aumenta com a profundidade em dB da faixa de parada.

Quanto maior o Fsample, maior a banda de transição e mais barato o filtro

$f_s$

$f_s/2$ e usar os dados amostrados para reconstruir com precisão meu sinal.

$f_s/2$$f_s/2$ .

$f_s/2$ precisam ser filtrados usando um filtro anti-aliasing.

$f_s/2$ !

Portanto, o filtro precisa idealmente:

$f < f_s/2$

mas

$f > f_s/2$

Isso é impossível de fazer! Portanto, é preciso haver um compromisso.

$f_s/2$$f_s/2$

As coisas ficam muito mais fáceis se:

$f_s/2$

ou

$f_s/2$ termina-se a uma frequência muito mais elevada.

$f_s/2$ .

$f_s/2$

Digamos que sua banda de interesse seja de DC a 100Hz e seu sinal tenha ruído branco de banda limitada a 10kHz. Agora, digamos que você decida experimentar em 2kHz. Você pode criar um bom filtro de baixa contagem de pólos com uma atenuação de 20dB / década e atenuar o ruído para minimizar o aliasing

Agora, digamos que você queira experimentar em 210Hz. Você precisa criar um filtro de alta ordem para obter uma atenuação suficiente. Esses filtros são mais difíceis e mais caros de projetar e construir. Se você conseguir fazer isso da maneira certa, receberá um sinal com distorção de fase substancial na banda passante.

Para o filtro analógico, você deve considerar o desempenho do filtro na faixa da maior frequência de interesse. Geralmente, isso significa que você precisa definir o "fc" para o filtro analógico um pouco mais alto que a maior frequência de interesse (e / ou usar um filtro mais nítido).

Para evitar aliases, é necessário amostrar em uma frequência que seja pelo menos duas vezes a do componente mais alto que passará pelo filtro em algum nível máximo no qual você possa tolerar a poluição pelo sinal de alias. Isso significa que a taxa de amostragem é pelo menos duas vezes fc, e geralmente precisa ser um pouco maior.

Portanto, agora, trabalhar para trás, uma taxa de amostragem mais alta, significa que você pode ter um fc mais alto e isso significa que você pode ter mais facilmente uma resposta plana até uma frequência de interesse menor que fc.

Mas . como você provavelmente sabe, o ruído aumenta com a largura de banda. Portanto, para uma aplicação de baixo ruído, pode ser necessário definir a largura de banda do filtro de maneira conservadora.