Em que condições a transformação de malha em estrela é invertível?

Todos nós conhecemos e amamos as transformadas Δ-Y (delta-wye) e Y-Δ (wye-delta) para simplificar as redes de três resistores:

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As transformadas Δ-Y e Y-Δ têm a propriedade agradável de que a Δ sempre pode ser transformado em um Y e um Y sempre pode ser transformado em um Δ, independentemente do valor das resistências envolvidas.

Existe uma versão generalizada da transformação Y-Δ chamada transformação de malha em estrela . Isso converte uma "estrela" de resistores em uma "malha" de resistores.$N$$^{N}C_{2}$

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A Wikipedia sugere que a transformação estrela-malha sempre existirá - mas que a transformação inversa, malha-estrela, pode não existir. A saber:

A transformação substitui N resistores por resistores. Para N> 3, o resultado é um aumento no número de resistores, de modo que a transformação não tem inversão geral sem restrições adicionais.$^{N}C_{2}$

Quais são as restrições que devem ser satisfeitas para que o inverso exista?

Estou particularmente interessado em converter uma rede de malha de 4 nós em uma rede em estrela de 4 resistores.

Motivação para a pergunta: Eu tenho um modelo de sistemas de energia industrial (realmente apenas uma rede muito grande de fontes e impedâncias de tensão constante) contendo ~ 2.000 nós. Estou tentando reduzi-lo para apenas quatro nós de interesse.

Editar:

Existem alguns trabalhos publicados sobre esse tópico.

• Versfeld, L., "Observações sobre a transformação em malha estrela de redes elétricas", Electronics Letters, vol.6, no.19, pp.597.599, 17 de setembro de 1970

  Dois novos aspectos da conhecida transformação de malha em estrela são estudados: (a) as condições necessárias e suficientes para a transformação de uma determinada rede de malha geral em uma rede em estrela equivalente; (b) uma extensão para redes contendo fontes.

• Bapeswara Rao, VV; Aatre, VK, "Mesh-star transform", Electronics Letters, vol.10, no.6, pp.73,74, 21 de março de 1974

  Existe uma rede em estrela equivalente para uma determinada rede em malha se esta satisfizer o relacionamento de Wheatstone. Usando esse fato, é mostrado que todos os cofatores fora da diagonal da matriz de admissão de nós de dados de uma rede em malha são iguais. A partir dessa propriedade, é derivada uma relação simples entre os elementos das duas redes.

Não tenho acesso ao IEEE Xplore, portanto não consigo lê-los.

$N_b$$N_b=N_e-N_v$$N_e$$N_v$$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$

$G_{XY}=\frac{G_XG_Y}{G_{TOT}}$$G_{TOT}=\sum_{i=1}^nG_i$$G_{XY}\ne0$$\frac{G_X}{G_Y}=\frac{G_{XZ}}{G_{YZ}}$$\frac{G_A}{G_B}=\frac{G_{AC}}{G_{BC}}=\frac{G_{AD}}{G_{BD}}\Rightarrow G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$$\frac{G_C}{G_D}=\frac{G_{AC}}{G_{AD}}=\frac{G_{BC}}{G_{BD}}$$G_{AB}G_{CD}=G_{AD}G_{BC}$$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}$$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$$G_{TOT}$$G_{TOT}=G_{A}+G_B+G_C+G_D=G_A(1+\beta+\gamma+\delta)$$\beta=\frac{G_B}{G_A}=\frac{G_{BC}}{G_{AC}}=\frac{G_{BD}}{G_{AD}}$$\Rightarrow G_{AB}=\frac{G_AG_B}{G_{TOT}}=\frac{G_AG_B}{G_A(1+\beta+\gamma+\delta)}=\frac{G_B}{(1+\beta+\gamma+\delta)}\Rightarrow G_B=G_{AB}(1+\beta+\gamma+\delta)$. With similar calculations we can find all the 4 conductances(resistances) of the star.

I suppose all of this means the condition is also a sufficient condition.

What this is saying (whether it is true or not) is that there exists more than one way of assigning values to a star network of five resistors such that all the configurations appear indistinguishable according to all external "blackbox" measurements of resistance.

The mesh transformation is a red herring here. If the star networks were uniquely determined, then of course there would always be an inverse of any mapping from that network to any other type, back to that network.