Calculando o movimento de uma partícula em uma superfície móvel devido à fricção entre eles

O Básico: Eu estou tentando chegar a uma equação descrevendo o movimento de uma partícula apoiada em uma superfície não estacionária, dado o movimento da superfície. Imagine colocar uma moeda em uma prancha e depois deslizar a prancha para frente e para trás em um movimento oscilante. A uma determinada taxa, a moeda começará a escorregar, mas não ficará completamente parada.

Variáveis ​​Conhecidas:

• Fricção estática
• Fricção Dinâmica
• Movimento da Superfície (ou seja, o tabuleiro, x (t), v (t), a (t))

Outros detalhes: O movimento do tabuleiro é não-linear e não é uma função 'legal' (é um conjunto de pontos de dados). Eu pretendo determinar o movimento da partícula discretamente usando o Scilab (MatLab do pobre). Estou considerando apenas o movimento 1D, para frente e para trás.

Informações básicas: Sou engenheiro mecânico, mas já faz um tempo que não usei nenhuma quantidade significativa de dinâmica, cálculo ou equações diferenciais. Eu tentei pesquisar isso sozinho por um longo tempo, mas parece que eu preciso reaprender esses assuntos antes mesmo de tentar este problema. Estou disposto a trabalhar para isso, mas não larguei meu emprego e voltei para a escola ...

Minha intenção é usar isso para modelar o desempenho de uma máquina em que estou trabalhando para otimizar o design. Eu tentei escrever um algoritmo que analisa a aceleração entre cada ponto de dados e determinar se ele está ou não escorregando. Se não for, eu adicionaria o movimento percorrido pela superfície até a posição da partícula. Isso funciona bem como uma estimativa muito grosseira, mas não leva em conta a inércia da partícula ou a velocidade existente da partícula.

Existe uma maneira relativamente simples de fazer isso?

Modelar o atrito estático pode ser uma verdadeira bagunça. Não há uma solução analítica para este problema, pois o atrito estático funciona em um tipo de lógica if / else. No entanto, você pode modelar numericamente. Eu sugeriria a seguinte abordagem:

$a(k)$$v(k)$$k$$m$$a_p(k)$$v_p(k)$$k$$F_{s,max}$$F_k$ser o máximo de atrito estático conhecido e fricção cinética. Você tem duas equações para aceleração da partícula que você pode alternar com base na aceleração e velocidade da placa:

$v_p(k) - v(k) = 0$$ma(k)<F_{s,max}$

$a_p(k) = a(k)$

De outra forma / caso contrário

$a_p(k) = F_k/m$

$a_p(k)$$v_p(k+1)$$x_p(k+1)$

Aqui está a lógica: se a partícula não está se movendo em relação à superfície, então ela está experimentando a força da fricção estática, que a manterá se movendo na mesma aceleração da superfície (até um limite, ditado pela inércia da partícula). Quando a inércia da partícula excede a força estática máxima, a partícula começará a escorregar e, portanto, apenas experimentará a fricção cinética.

$v_p(k) - v(k) = 0$$0$$|v_p(k) - v(k)| < v_{min}$$v_{min}$