Como calcular uma curva senoidal modificada?

Estou projetando um perfil de came bidimensional. Eu quero usar o método "seno modificado" para desenhar as mudanças de posição e ângulo. (veja o desenho em anexo). A curva senoidal modificada é na verdade uma combinação de curva cicloidal no primeiro e no último 1/8 da curva e uma curva senoidal no meio 7/8 da curva. É facilmente empregado quando as velocidades terminais são zero. No entanto, muitas vezes é necessário que um perfil de came simplesmente passe de uma velocidade (talvez zero) para uma velocidade terminal constante. A velocidade terminal é simplesmente um ângulo no diagrama de deslocamento.

O perfil é definido por:

$45\deg \left( \frac\pi4 \right)$

como um exemplo,

$(0,0)$$(3,2)$$30$

$h$$\beta$$(3,2)$$\frac{30}{180}\pi$

Eu usaria uma interpolação Hermite. Ele usa as quatro funções a seguir:

$h_1 = 2s^3 - 3s^2 + 1$

$h_2 = -2s^3 + 3s^2$

$h_3 = s^3 - 2s^2 + s$

$h_4 = s^3 - s^2$

E combina-os assim:

$output = (h_1 * startPoint) + (h_2 * endPoint) + (h_3 * gradientIn) + (h_4 * gradientOut)$

$s$$0$$1$$output$$startPoint$ $(0, 0)$$endPoint$ $(3, 2)$$gradientIn$$0$$gradientOut$$tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$x_s = (h_2 * x_{end}) + (h_4 * tan(\frac{\pi}{6})) = (h_2 * 3) + (h_4 * \frac{1}{\sqrt{3}})$

$y_s = (h_2 * y_{end}) + (h_4 * tan(\frac{\pi}{6})) = (h_2 * 2) + (h_4 * \frac{1}{\sqrt{3}})$

Se você quiser obter mais informações sobre esse tipo de curva de interpolação, veja uma descrição matemática e uma descrição mais funcional .