Como calcular a mudança na energia térmica quando o calor específico varia com a temperatura?

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Muitos materiais têm um calor específico que varia com a temperatura, especialmente quando a mudança de temperatura aumenta. Como se calcula a energia térmica que um objeto recebe nesse caso? Podemos simplesmente usar a capacidade de calor específica na temperatura inicial ou final?

mechanical-engineering thermodynamics heat-transfer energy Max Ning
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De maneira semelhante à minha resposta sobre o cálculo da força da alavanca em uma situação contínua ; você precisa usar a integração.

Você começa adotando a lei de aquecimento padrão com a qual você está familiarizado com e substituindo s por diferenciais: Esta nova equação diz: Para uma mudança infinitesimal (muito pequena) na temperatura, eu recebo uma mudança infinitesimal (muito pequena) no calor. No limite dos infinitesimais, tudo é linear, de modo que esta simples equação linear ainda é válida. Agora você simplesmente resume todas as mudanças infinitesimais no fluxo de calor usando a integração Se você realmente não deseja fazer a integração, tudo bem. O Matlab não terá problemas em fazer isso por você, e a abordagem Matlab funcionará mesmo que você não tenha uma função analítica para descrever

Δ Q = c m Δ T

$\Delta Q=c\ m\ \Delta T$

Δ

$\Delta$

d Q = c (T) m d T .

$dQ=c(T)\ m\ dT.$

Δ Q = m \int_{T_{i}}^{T_{f}} c (T) d T .

$\Delta Q=m\int_{T_i}^{T_f}c(T)\ \ dT.$

c (T)

$c(T)$ (ou seja, você só tem dados). Se você não tem acesso ao Matlab, use Python . É gratuito, de código aberto e incrivelmente poderoso.

Chris Mueller
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Não me entenda mal, sou um grande fã de Python, mas o GNU Octave parece ser um ajuste melhor no papel de alternativa gratuita ao MATLAB. Por um lado, é compatível com arquivos .mat.

Air

@ Air Isso pode ser verdade; Eu realmente nunca usei o Octave. A mudança para o Python do Matlab não é difícil, e é, acredito, uma linguagem mais bem desenvolvida que o Octave. Eu também sei que as rotinas de integração numérica do Python (parte do SciPy) são robustas porque eu as usei várias vezes.

22315 Chris Mueller

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Nem. Nesse tipo de situação, não há solução linear "simples"; você precisa usar o cálculo integral para adicionar o calor incremental absorvido a cada temperatura ao longo do caminho. O único momento em que esse cálculo se torna uma multiplicação simples é quando a quantidade que está sendo integrada (o calor específico) é uma constante no intervalo da integração.

Dave Tweed
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Nem.

Como já foi apontado, isso não é trivial, mas aqui está um método sugerido:

meça com precisão uma certa quantidade de combustível e, em seguida, queime esse combustível e use um material com uma capacidade de calor específica muito constante ou conhecida para determinar quanta energia sua peça de teste está recebendo ao longo do tempo registrando sua temperatura.
use a mesma quantidade de combustível, no mesmo aparelho, com uma peça de teste de propriedades geométricas idênticas, mas com um material diferente e repita o experimento. Desta vez, você assume a energia que seu provete recebe com base na etapa 1 e usa a temperatura registrada para determinar a capacidade térmica específica do material.
agora que você possui a curva de capacidade térmica específica para esse material, use-a como qualquer outro material, mas integre sua curva sobre o intervalo de temperatura que você mede para determinar a quantidade de energia térmica absorvida.

Esse método não é perfeito, depende de superposição linear que não é perfeitamente válida para temperatura, pois alguns fatores de troca de calor têm uma dependência não linear, mas não é um método ruim para "calibrar" seu material em um nível básico.

thepowerofnone
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Eu tentaria ajustar o material a um modelo.
O modelo Debye é o "padrão". (desculpe, o artigo da wiki está um pouco exagerado.) No modelo Debye, o material pode ser ajustado com uma "temperatura Debye".

Edite a pedido. (porém, eu confiaria no artigo da wiki sobre a minha resposta.) Em altas temperaturas, (mas não muito altas), os materiais têm uma capacidade de aquecimento igual a 3kT * N, onde N é o número de átomos. (São apenas átomos e não elétrons que contam para capacidade de calor, o que é interessante ...) À medida que a temperatura cai, os átomos param de tremer tanto e alguns dos modos vibracionais "congelam". Os modos estão com uma energia tão alta que não há energia térmica suficiente para excitá-los. A temperatura de Debye é uma medida aproximada de onde os modos congelam e a capacidade de aquecimento começa a diminuir.

George Herold
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Você poderia adicionar um pouco mais de informação, em vez de apenas um link?

hazzey

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$Cp=f(T)$

Δ Q = m \int_{T_{i}}^{T_{f}} C p (T) d T

$\Delta Q=m\int_{T_i}^{T_f}Cp(T)\ \ dT$

$Cp(T_i)$ $Cp(T_f)$

C p (T) = C p (T_{i}) + \frac{C p (T_{f}) - C p (T_{i})}{T_{f} - T_{i}} (T - T_{i})

$Cp(T)=Cp(T_i)+\frac{Cp(T_f)-Cp(T_i)}{T_f-T_i} (T-T_i)$

Δ Q = m \frac{C p (T_{f}) + C p (T_{i})}{2} (T_{f} - T_{i})

$\Delta Q=m\, \frac{Cp(T_f)+Cp(T_i)}2 \,(T_f-T_i)$

C p

$Cp$

Claude Leibovici
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c_{p}

$c_p$

δ T

$\delta T$

c_{p}

$c_p$

T

$T$

C p

$Cp$

Como calcular a mudança na energia térmica quando o calor específico varia com a temperatura?

Respostas:

Nem.