Qual é a diferença entre o momento polar de inércia,

Essa pergunta é tão fundamentalmente básica que fico quase envergonhada de perguntar, mas surgiu no trabalho outro dia e quase ninguém no escritório poderia me dar uma boa resposta. Eu estava calculando a tensão de cisalhamento em um membro usando a equação, e notado, que, para um veio com uma secção transversal circular,Jt=IP.$\frac{Tr}{J_T}$$J_T = I_P$

Ambos e J T são utilizados para descrever a capacidade de um objecto para resistir à torção. I P é definido como, ∫ A ρ 2 d A onde ρ = a distância radial ao eixo sobre o qual I P está sendo calculado. Mas J T não tem exata equações analíticas e é calculado em grande parte com as equações aproximadas que nenhuma referência Olhei para realmente elaborados por diante.$I_P$$J_T$$I_P$$\int_{A} \rho^2 dA$$\rho$$I_P$$J_T$

Então, minha pergunta é: qual é a diferença entre o momento polar de inércia, , e a constante de torção, J T ? Não apenas matematicamente, mas praticamente. De que propriedade física ou geométrica cada uma é uma representação? Por que J T é tão difícil de calcular?$I_P$$J_T$$J_T$

A constante de torção relaciona o ângulo de torção ao torque aplicado através da equação: ϕ = T $J_T$ , ondeTé o binário aplicado,Lé o comprimento do membro,Lé o módulo de elasticidade ao corte, eJTé a constante de torção.

$$\phi = \frac{TL}{J_T G}$$ $T$$L$$G$$J_T$

O momento polar de inércia, por outro lado, é uma medida da resistência de uma seção transversal à torção com seção transversal invariante e sem deformações significativas .

O caso de uma haste circular sob torção é especial devido à simetria circular, o que significa que ela não se deforma e sua seção transversal não muda sob torção. Portanto .$J_T = I_P$

Quando um membro não tem simetria circular então podemos esperar que ele irá deformar sob torção e, portanto, .$J_T \neq I_P$

O que deixa o problema de como calcular . Infelizmente, isso não é simples, e é por isso que os valores (geralmente aproximados) para formas comuns são tabulados.$J_T$

Uma maneira de calcular a constante de torção é usar a função de tensão Prandtl (outra é usar as funções de distorção ).

$\Phi$

$$\nabla^2 \Phi = -2 G \theta$$ $\theta$

$\Phi = 0$

$$J_T = 2\int_A \frac{\Phi}{G\theta} dA$$

Exemplo: Haste da seção circular

$$\Phi = \frac{G\theta}{2} (R^2-r^2)$$ $$J_T = 2\pi\int_0^R (R^2-r^2)rdr = \frac{\pi R^4}{2} = (I_P)_{circle}$$

Exemplo: Haste da seção transversal elíptica

$$\Phi = G\theta\frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)$$ $$J_T = \int_A \frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)dA = \frac{\pi a^3 b^3}{a^2+b^2}$$ $$(I_P)_{ellipse} = \frac{1}{4}\pi a b(a^2+b^2) \neq (J_T)_{ellipse}$$

$J_T < I_P$

Isso é quase uma coincidência e é válido apenas para seções transversais circulares sólidas ou ocas. Obviamente, eixos com torção geralmente são circulares, por razões independentes da questão!

$r^2 = x^2 + y^2$

$x$$y$

A forma das integrais é exatamente a mesma forma matemática dos segundos momentos da área de uma viga circular, o que leva ao resultado que você perguntou.

Isso não funciona para seções não circulares, porque a distribuição de tensão não é radialmente simétrica. Por exemplo, se você comparar a constante de torção e o momento polar de uma seção quadrada sólida, encontrará as "constantes" nas duas fórmulas que são diferentes. Quanto mais a seção transversal se desviar de um círculo, maior será a diferença.

A constante de torção para uma seção com formato complexo (por exemplo, uma viga em I) é difícil de calcular porque a distribuição de tensões na seção é complicada e não existe uma "fórmula" simples para integrar matematicamente. Muitas das fórmulas para torção nos manuais de engenharia são baseadas em suposições simplificadas, e não em soluções matemáticas "exatas".

Mas na vida real os "erros" não são muito importantes, porque quando uma carga de torção é aplicada a uma estrutura não circular, as seções transversais "entortam", ou seja, elas não permanecem mais planas . Na vida real, a quantidade de empenamento é geralmente desconhecida, porque as restrições nas extremidades do eixo o afetam. Se você realmente precisa de uma estimativa precisa da rigidez torcional de um componente não circular, é necessário criar um modelo 3D completo do próprio componente e como ele é fixado ao restante da estrutura. Se você cria um modelo com esse nível de detalhe, não há muito sentido em reduzir a resposta para um número, apenas para chamá-lo de "rigidez torcional".

O momento de inércia polar, Ip, é a resistência de um sólido a ser torcido. No entanto, o momento de inércia da massa rotacional, J, é o momento de inércia de um sólido em rotação. Veja esta web .

Pelo que entendi, J é o mesmo que o momento normal de inércia, mas para objetos rotativos.