Uma bola bate no canto, onde ela irá desviar?

Preciso retocar minha trigonometria e espero que você possa ajudar aqui com um modelo matemático simples. Aqui está o meu modelo até agora na imagem em anexo. Estou ciente de que a animação do quadro apresenta outros problemas quando a bola está se movendo muito rápido, mas, por enquanto, só preciso calcular ballDx e ballDy. Também é possível que ballDx = 0 (somente movimento vertical), mas quando a bola desviar ballDx pode obter um valor diferente.

Nota: Todos os itens a seguir assumem que a superfície da bola não possui atrito (portanto, ela não começará a girar ou se recuperar de forma diferente porque é).

No momento da colisão, a bola estará tocando o canto. Quando objetos sólidos colidem, uma força age ao longo da superfície normal, ou seja, perpendicular à superfície no ponto de colisão.

Como é uma bola, perpendicular à superfície está em direção ao centro da bola. Ok, então sabemos a direção da força, e quanto à sua magnitude? Assumindo uma colisão elástica (e que o retângulo não pode se mover), a bola deve se recuperar na mesma velocidade em que impactou.

Seja (nDx, nDy) a velocidade após a colisão, (oDx, oDy) a velocidade antes da colisão e (x, y) a posição da bola no ponto de colisão. Vamos assumir ainda que o canto com o qual a bola colide está em (0,0).

Expressando nossas idéias como fórmulas, temos:

(nDx, nDy) = (oDx, oDy) + c * (x, y)
length (nDx, nDy) = length (oDx, oDy)

O que equivale a:

nDx = oDx + c * x
nDy = oDy + c * y
nDx^2 + nDy^2 = oDx^2 + oDy^2

Substituindo as duas primeiras equações na última, obtemos:

(oDx + c * x)^2 + (oDy + c * y)^2 = oDx^2 + oDy^2

Expansão usando o torem binomial

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 

rendimentos:

oDx^2 + 2 * oDx * c * x + (c * x) ^ 2 + oDy^2 + 2 * oDy * c * y + (c * y) ^ 2 = oDx^2 + oDy^2
2 * oDx * c * x + 2 * oDy * c * y + (c * x) ^ 2 + (c * y) ^ 2 = 0
(2 * oDx * x + 2 * oDy * y) * c + (x^2 + y^2) * c^2 = 0

Essa equação quadrática para ctem duas soluções, uma das quais é 0. Obviamente, não é essa a solução em que estamos interessados, pois geralmente a direção da bola muda como resultado da colisão. Para obter a outra solução, dividimos os dois lados por ce obtemos:

(2 * oDx * x + 2 * oDy * y) + (x^2 + y^2) * c = 0

Isso é:

 c = -(2 * oDx * x + 2 * oDy * y) / (x^2 + y^2)

Para resumir, temos:

c = -(2 * oDx * x + 2 * oDy * y) / (x^2 + y^2)
nDx = oDx + c * x
nDy = oDy + c * y

Editar : No código:

if (collision) {
    float x = ballX - cornerX;
    float y = ballY - cornerY;
    float c = -2 * (ballDx * x + ballDy * y) / (x * x + y * y);
    ballDx = ballDx + c * x;
    ballDy = ballDy + c * y;
}

Algumas considerações de implementação: Embora você possa se aproximar (x, y) da posição da bola após a etapa de simulação, essa aproximação alterará o ângulo de deflexão e, portanto, será muito perceptível, portanto, suas etapas de simulação precisam ser muito boas (talvez tal a bola não move mais de 1/20 do seu diâmetro por etapa). Para uma solução mais precisa, você pode calcular o tempo em que a colisão ocorre e dividir a etapa de simulação naquele momento, ou seja, executar uma etapa parcial até o ponto de colisão e outra etapa parcial para o restante da etapa.

Edit 2: Computando o ponto de impacto

Seja r o raio, (x0, y0) a posição e (dx, dy) a velocidade da bola no início do passo da simulação. Para simplificar, vamos supor que o canto em questão esteja localizado em (0,0).

Nós sabemos:

(x,y) = (x0, y0) + (dx, dy) * t

Nós queremos

length(x,y) = r

Isso é

(x0 + dx * t) ^ 2 + (y0 + dy * t) ^ 2 = r^2
x0^2 + 2 * x0 * dx * t + dx^2 * t^2 + y0^2 + 2 * y0 * dy * t + dy^2 * t^2 = r ^ 2
(dx^2 + dy^2) * t^2 + (2 * x0 * dx + 2 * y0 * dy) * t + (x0^2 + y0^2 - r^2) = 0
\____  _____/         \____________  ___________/       \_______  ________/
     \/                            \/                           \/
     a                             b                            c

Essa é uma equação quadrática em t. Se seu discriminante

D = b^2 - 4 * a * c

é negativo, não tem soluções, ou seja, a bola nunca acertará o canto no seu percurso atual. Caso contrário, suas duas soluções são dadas por

t1 = (-b - sqrt(D)) / (2 * a)
t2 = (-b + sqrt(D)) / (2 * a)

Estamos interessados ​​no momento em que a colisão começou, que é a anterior t1.

Seu método se tornaria:

    // compute a,b,c and D as given above

    if (D >= 0) {
        t = (-b - sqrt(D)) / (2 * a);
        if (0 < t && t <= ts) {
            // collision during this timestep!

            x = x + t * dx;
            y = y + t * dy;
            ts = ts - t;

            // change dx and dy using the deflection formula 
        }
    }

    x = x + ts * dx;
    y = y + ts * dy;

Aqui está uma maneira visual de analisar um problema.

O conjunto de problemas original é círculo x retângulo (cinza na imagem abaixo). Isso é equivalente ao ponto x retângulo arredondado (mostrado em preto).

Portanto, este é um problema de várias partes. Você está testando sua colisão de pontos vs. 4 linhas (extrudadas da borda da caixa pelo raio do círculo original) e 4 círculos (nos cantos do retângulo com o mesmo raio do círculo original).

Com a velocidade aproximada da imagem original, o ponto atingirá o círculo do canto inferior direito. Tudo o que você precisa fazer é descobrir o ponto no círculo do canto em que você atingirá, calcular o ângulo e refletir sobre ele.

Deixarei a derivação disso como um exercício para o leitor.

Estou trabalhando em um jogo e também preso aqui. Mas acho que é assim:

Há outra visão. Meu problema é que não sei como calcular rapidamente o novo dx, dy (para mim, usar a matemática tradicional requer muitos cálculos).

A cinemática tem tudo a ver com escolher o quadro de referência correto, como o mais conveniente para os cálculos.

Aqui, primeiro definiremos a transformação T que resolve nossos eixos em componentes paralelos ( x ' ) e perpendiculares ( y' ) a uma linha entre o centro da bola e o canto. A transformação inversa T * restaurará nosso sistema de coordenadas original.

Nesse novo quadro de referência, pela reflexão (e pela simetria temporal e espacial da física), temos a transformação de velocidade do contato M (um impulso pontual ) como aquele que reverte o componente x ' e deixa inalterado o componente y' . Em termos de matriz , essa é a matriz diagonal com -1 e 1 na diagonal.

Então a velocidade após a colisão é simplesmente: V ' = T * . M . T . Vo .

O momento do impacto t é, em seguida, apenas a solução de ( T . Do ) + ( X . T . Vo ) ( t ) = r onde X é o operador de projecção do eixo X e r é o raio da esfera. Reorganizados, obtemos
t = ( r - ( T . Do )) / (( X . T . Vo ) ( t ))

Isso tem a vantagem distinta de enterrar toda a matemática complexa em bibliotecas gráficas padrão rigorosamente escritas, testadas e depuradas. Essa solução também é idêntica para situações 2D e 3D - basta alternar entre a biblioteca de gráficos. Por fim, destaca que é preciso primeiro pensar em quadros de referência apropriados antes de enfrentar qualquer problema de física. Sempre existe a tentação do NIH, mas na verdade isso é apenas uma receita para bugs quando soluções mais sucintas estão disponíveis.