Um dos meus colegas está trabalhando com dados espalhados por duas zonas UTM. A maioria dos dados está em uma zona, com alguns discrepantes em outra zona. Ele gostaria de saber qual seria a distorção da área desses discrepantes se eles estivessem na zona principal do UTM.
Existe uma fórmula para calcular a distorção superficial sabendo até que ponto os recursos estavam na outra zona UTM?
O UTM usa uma projeção transversal de Mercator com um fator de escala de 0,9996 no meridiano central. No Mercator, o fator de escala de distância é a secante da latitude (uma fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_projection ), de onde o fator de escala de área é o quadrado desse fator de escala (porque se aplica em todas as direções, sendo o Mercator conforme). Entendendo a latitude como a distância esférica do equador e aproximando o elipsóide com uma esfera, podemos aplicar esta fórmula a qualquer aspecto da projeção de Mercator. Portanto:
O fator de escala é 0,9996 vezes a secante da distância (angular) ao meridiano central. O fator de escala da área é o quadrado dessa quantidade.
Para encontrar essa distância, considere o triângulo esférico formado ao viajar ao longo de um ponto geodésico a partir de um ponto arbitrário em (lon, lat) = (lambda, phi) diretamente em direção ao meridiano central na longitude mu, ao longo desse meridiano até o polo mais próximo e, em seguida, de volta ao longo do meridiano lambda até o ponto original. O primeiro turno é um ângulo reto e o segundo é um ângulo de lambda-mu. A quantidade percorrida ao longo da última parte é de 90 graus phi. A Lei Esférica de Sines aplicada a este triângulo declara
sin (lambda-mu) / sin (distância) = sin (90 graus) / sin (90-phi)
com solução
distância = ArcSin (sin (lambda-mu) * cos (phi)).
Essa distância é dada como um ângulo, o que é conveniente para calcular o secante.
Exemplo
Considere a zona 17 do UTM, com o meridiano central em -183 + 17 * 6 = -81 graus. Seja a localização periférica a uma longitude de -90 graus, latitude de 50 graus. Então
Etapa 1: a distância esférica de (-90, 50) ao meridiano de -81 graus é igual a ArcSin (sin (9 graus) * cos (50 graus)) = 0,1007244 radianos.
Etapa 2: a distorção da área é igual a (0,9996 * s (0,11007244 radianos)) ^ 2 = 1,009406.
(Os cálculos numéricos com o elipsóide GRS 80 fornecem o valor como 1,009435, mostrando que a resposta que calculamos é 0,3% muito baixa: essa é a mesma ordem de magnitude que o achatamento do elipsóide, indicando que o erro é devido à aproximação esférica.)
Aproximações
Para ter uma ideia de como a área muda, podemos usar algumas identidades trigonométricas para simplificar a expressão geral e expandi-la como uma série de Taylor em lambda-mu (o deslocamento entre a longitude do ponto e a longitude do meridiano central da UTM). Isso funciona para
Fator de escala de área ~ 0,9992 * (1 + cos (phi) ^ 2 * (lambda-mu) ^ 2).
Como em todas essas expansões, o ângulo lambda-mu deve ser medido em radianos. O erro é menor que 0,9992 * cos (phi) ^ 4 * (lambda-mu) ^ 4, que fica próximo ao quadrado da diferença entre a aproximação e 1 - ou seja, o quadrado do valor após o ponto decimal .
No exemplo com phi = 50 graus (com um cosseno de 0,642788) e lambda-mu = -9 graus = -0,15708 radianos, a aproximação fornece 0,9992 * (1 + 0,642788 ^ 2 * (-0,15708) ^ 2) = 1,009387. Olhando além do ponto decimal e do quadrado, deduzimos (mesmo sem saber o valor correto) que seu erro não pode ser maior que (0,009387) ^ 2 = menor que 0,0001 (e, na verdade, o erro é de apenas um quinto desse tamanho).
A partir dessa análise, é evidente que em altas latitudes (onde cos (phi) é pequeno), os erros de escala sempre serão pequenos; e em latitudes mais baixas, os erros de escala de área se comportarão como o quadrado da diferença de longitudes.
Ferramenta GeoConvert da GeographicLib
http://geographiclib.sf.net/html/GeoConvert.1.html
permite uma sobreposição generosa entre zonas UTM (especificamente, a conversão para uma zona vizinha é permitida, desde que o leste resultante esteja no intervalo [0km, 1000km]). O GeoConvert também pode relatar a convergência e escala do meridiano e, como observa o whuber, a distorção da área é o quadrado da escala.
Por exemplo, sua zona "principal" é 42 e você recebe um ponto
41N 755778 3503488
(Universidade de Kandahar), a cerca de 29 km a oeste da zona 42. Para converter isso na zona 42, use
eco 41N 755778 3503488 | GeoConvert -u -z 42 ==> 42N 186710 3505069
Para determinar a convergência e escala do meridiano na zona 42, adicione o sinalizador -c
eco 41N 755778 3503488 | GeoConvert -u -z 42 -c ==> -1.73405 1.0008107
Portanto, a distorção da área é 1.0008107 ^ 2 = 1.0016221.
fonte