Como representar de forma compacta vários estados de qubit?

Como o acesso a dispositivos quânticos capazes de computação quântica ainda é extremamente limitado, é interessante simular cálculos quânticos em um computador clássico . Representar o estado de qubits como um vetor leva elementos, o que restringe bastante o número de qubits que se pode considerar nessas simulações.2 $n$$2^n$

Pode-se usar uma representação ¹ que é mais compacta, no sentido de que usa menos memória e / ou poder computacional do que a representação vetorial simples? Como funciona?

Embora fácil de implementar, fica claro que a representação vetorial é um desperdício para estados que exibem esparsidade e / ou redundância em sua representação vetorial. Para um exemplo concreto, considerar o estado 3-qbit . Possui elementos, mas eles assumem apenas valores possíveis, com a maioria dos elementos sendo . Obviamente, para ser útil na simulação de uma computação quântica, também precisaríamos considerar como representar portas e a ação de portas em qubits, e incluir algo sobre isso seria bem-vindo, mas eu ficaria feliz em ouvir também sobre qubits.233$(1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3},0,0,0,-1/\sqrt{3}, 0,0)^T$$2^3$$3$$0$

_{1. Observe que estou perguntando sobre as representações, não sobre software, bibliotecas ou artigos que possam utilizar / apresentar tais representações. Se você apresentar e explicar uma representação, será bem-vindo mencionar onde ela já é usada.}

Existem muitas maneiras possíveis de representar de forma compacta um estado, cuja utilidade depende fortemente do contexto.

Antes de tudo, é importante notar que não é possível ter um procedimento que possa mapear qualquer estado em uma representação mais eficiente do mesmo estado (pela mesma razão pela qual obviamente não é possível compactar fielmente qualquer bit de 2 bits string como uma string de 1 bit, com um mapeamento que não depende da string).

No entanto, assim que você começa a fazer algumas suposições, pode encontrar maneiras mais eficientes de representar um estado em um determinado contexto. Há várias maneiras possíveis de fazer isso, então vou mencionar algumas que vêm à mente:

1. Já a representação vetorial padrão de um estado cetônico pode ser pensada como uma "representação compactada", que funciona sob a suposição de que o estado é puro . De fato, você precisa de graus de liberdade reais para representar um estado arbitrário (geralmente misto) de bits, mas apenas para representar um estado puro.n 2 n + 1 - $4^n-1$$n$$2^{n+1}-2$

2. Se você assumir um estado ser quase pura, isto é, de tal forma que é escassa em alguma representação (equivalentemente, é baixa classificação), em seguida, novamente o estado pode ser caracterizada de forma eficiente. Para um sistema tridimensional (portanto, para um sistema qubit), em vez de usar os parâmetros ~ , você pode ter uma representação fiel usando apenas , onde é a esparsidade do estado (consulte 0909.3304 e os trabalhos que vieram depois disso).p p d d = 2 n n d 2 O ( r d log 2 d ) $\rho$$\rho$$\rho$$d$$d=2^n$$n$$d^2$$\mathcal O(r d \log^2 d)$$r$

3. Se você está interessado apenas em um número limitadodos valores esperados, é possível encontrar uma representação compactada de um estado de bits de tamanho . Observe que isso equivale a uma redução exponencial . Isso foi mostrado (eu acho) no quant-ph / 0402095 , mas a introdução dada em 1801.05721 pode ser mais acessível para um físico (além de apresentar melhorias no método de otimização). Veja as referências neste último artigo para obter vários resultados semelhantes.n O ( n log ( n ) log ( | S | ) $|S|$$n$$\mathcal O(n\log(n)\log(|S|))$

4. Se você sabe que o emaranhamento do estado é limitado (em um sentido que pode ser definido com precisão), então novamente podem ser encontradas representações eficientes, em termos de redes tensoras (uma introdução é encontrada, por exemplo, em 1708.00006 ). Mais recentemente, também foi demonstrado que os estados fundamentais de alguns Hamiltonianos notáveis ​​podem ser representados usando ansatze inspirado no aprendizado de máquina (( 1606.02318 e muitos trabalhos a seguir). ( 1710.04045 ), não tenho certeza se deve ir para uma categoria própria.

Observe que em todas as opções acima, você pode representar com mais eficiência um determinado estado, mas, para simular a evolução do sistema, geralmente você precisa voltar à representação ineficiente original. Se você deseja representar eficientemente a dinâmica de um estado através de uma dada evolução, novamente precisa de suposições sobre a evolução para que isso seja possível. O único resultado que vem à mente a esse respeito é o teorema clássico de Gottesman-Knill (como no estabelecido, e não no "não quântico") , que permite simular com eficiência qualquer circuito quântico de Clifford.

$\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}$ Não tenho certeza de que usar a escarsidade é uma boa abordagem aqui: mesmo portões de um qubit único podem facilmente transformar um estado esparso em denso.

Mas você pode usar o formalismo do estabilizador se usar apenas os portões de Clifford . Aqui está uma breve recapitulação ( notação ):
O grupo Pauli de qubit único é , ou seja, todos os produtos possíveis das matrizes Pauli (incluindo ). O grupo Pauli de vários qubits é o espaço do produto tensorial de , . O estabilizador de um estado é o subgrupo do grupo Pauli de todos os operadores que estabilizam , o que significaI G 1 G n = L ⊗ n 1 | ip ⟩ | ip ⟩ s | ip ⟩ = | ip ⟩ s 1 s 2 s n 2 n - 1 4 N 2 L 1 L s i → U † s i$G_1=\langle X, Y, Z\rangle$$\mathbb{I}$$G_1$$G_n=G_1^{\otimes n}$$\ket{\psi}$$\ket{\psi}$$s \ket{\psi} = \ket{\psi}$. É importante observar que isso funciona apenas para estados específicos (mas importantes). Vou dar um exemplo abaixo. A restrição a elementos do grupo Pauli não é necessária, mas comum. O estabilizador é gerado pelos operadores , , ... . O estabilizador define exclusivamente o estado e é uma descrição eficiente: em vez de números complexos, podemos usar bits ( tem 16 elementos). Quando aplicamos uma porta , os geradores estabilizadores são atualizados de acordo com$s_1$$s_2$$s_n$$2^n-1$$4n^2$$G_1$$U$$s_i \to U^\dagger s_i U$. Um portão que mapeia os operadores Pauli para os operadores Pauli é chamado de Clifford gates. Portanto, esses são os portões que não "atrapalham" nossa descrição do estado.

Os estados dos gráficos são um exemplo importante para o formalismo do estabilizador descrito acima. Considere-se uma (não dirigida) gráfico matemático, que consiste de vértices e arestas . Cada vértice corresponde a um qubit. Vamos denotar o gráfico por . Um estado gráfico é produzido a partir do estado , em que aplicando uma porta de fase controlada para cada par de vértices conectados. O estabilizador é gerado porV E ⊂ V × V G = ( V , E ) | + ⟩ ⊗ n | + ⟩ = $n$$V$$E\subset V\times V$$G=(V,E)$$\ket{+}^{\otimes n}$CZsv=XvΠ w ∈ V ( v , w ) ∈ E ZW$\ket{+}=\frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{0}+\ket{1})$$C_Z$

$$s_v= X_v \prod_{\substack{w\in V\\ (v,w)\in E}} Z_w.$$

Por exemplo, comece com o estado de dois qubit . O estabilizador é . Agora aplique a porta para obter . (O estado é , que é o equivalente unitário local ao estado de Bell)$\ket{\phi}=\ket{+}\otimes \ket{+}$$\langle X\otimes \mathbb{I}, \mathbb{I}\otimes X \rangle$$C_Z$$\langle X \otimes Z, Z \otimes X \rangle$$\ket{\phi'}=\frac{1}{2}(1,1,1,-1)^T$

O formalismo do estabilizador também desempenha um papel importante na correção de erros quânticos.

Pode-se usar uma representação mais compacta, no sentido de que usa menos memória e / ou poder computacional do que a simples representação vetorial? Como funciona?

Fonte: " Qubits Múltiplos ":

"Um único qubit pode ser modelado trivialmente, a simulação de uma computação quântica de cinquenta bits ultrapassaria os limites dos supercomputadores existentes. Aumentar o tamanho da computação em apenas um qubit adicional duplica a memória necessária para armazenar o estado e aproximadamente o tempo computacional Essa rápida duplicação de poder computacional é o motivo pelo qual um computador quântico com um número relativamente pequeno de qubits pode superar em muito os supercomputadores mais poderosos de hoje, amanhã e além em algumas tarefas computacionais ".

Portanto, você não pode utilizar um esquema Ponzi ou roubar Peter para pagar a Paul . A compactação economizará memória ao custo da complexidade computacional, ou a representação em um espaço mais flexível (maior) reduziria a complexidade computacional, mas ao custo da memória. Essencialmente, o que é necessário é um hardware mais capaz ou algoritmos mais inteligentes.

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Aqui estão alguns métodos:

• Compactação do volume de conjuntos de estados quânticos da métrica do Qubit:

A métrica de informação de Fisher pode ser usada para mapear o volume do qubit usando uma abordagem de geometria da informação, conforme discutido em " O volume de estados de dois qubits por geometria da informação ", " Análise da informação de Fisher e o limite de Cramer-Rao para estimativa de parâmetros não lineares". After Compressed Sensing ", e nossa" explicação intuitiva das informações de Fisher e Cramer-Rao bound ".

• Análoga à compressão do operando:

Computando decomposições ótimas em profundidade de operações lógicas: " Um algoritmo meet-in-the-middle para síntese rápida de circuitos quânticos em profundidade ótima " ou esta discussão do Quora sobre " Codificação da dimensão da partícula ".

• Análogo à compactação de memória:

Fatoração de Qutrit usando aritmética ternária: " Fatoração com Qutrits: algoritmo de Shor em arquiteturas quânticas ternárias e metapléticas " e " Síntese quântica de circuitos ternários usando operações de projeção ".

• Análogo à otimização tradicional

" Um algoritmo quântico para encontrar expressões mínimas ou exclusivas ".

• De outros:

Dimensões de Krull ou axiomatização e reescrita de gráficos: " Completude do cálculo ZX para a mecânica quântica Pure Qubit Clifford + T ".

Ao combinar essas técnicas, você deve poder espremer o pé no sapato. Isso permitiria a emulação de sistemas maiores em processadores convencionais, apenas não me peça para explicar o trabalho em nível de doutorado ou escrever o código. :)