O que se entende pelo termo "base computacional"?

O que se entende pelo termo "base computacional" no contexto da computação quântica e dos algoritmos quânticos?

Quando temos apenas um qubit, não há nada de especial na base computacional; é bom ter uma base canônica. Na prática, você pode pensar que primeiro você implementa uma porta com e e depois diz que a base computacional é a base própria dessa porta.Z 2 = I Z ≠ $Z$$Z^2 = I$$Z\neq I$

No entanto, quando falamos de sistemas multi-qubit, a base computacional é significativa. Ele vem da escolha de uma base para cada qubit e da base que é o produto tensorial de todas essas bases. Escolher a mesma base para cada qubit é bom apenas para manter tudo uniforme, e chamá-los de e é uma boa opção notacional. O que é realmente importante é que nossos estados de base são estados de produto em nossos qubits: os estados de base computacional podem ser preparados inicializando nossos qubits separadamente e reunindo-os. Isso não é verdade para estados arbitrários! Por exemplo, o estado do gato requer um circuito de profundidade de log para prepará-lo a partir de um estado do produto.1 $0$$1$$\frac1{\sqrt2}\left(|0^n\rangle + |1^n\rangle\right)$

A computação quântica lida (principalmente) com sistemas quânticos de dimensão finita chamados qubits . Se você conhece a mecânica quântica básica, sabe que o espaço Hilbert de um qubit é , ou seja, o espaço bidimensional complexo de Hilbert sobre (para pessoas mais técnicas, o espaço Hilbert é realmente ).C C P $\mathbb{C}^2$$\mathbb{C}$$\mathbb{C}P^1$

Portanto, para descrever os vetores (ou fisicamente, o estado quântico do qubit) nesse espaço bidimensional de Hilbert, precisamos de pelo menos dois elementos básicos. Se você pensa no estado do qubit como um vetor de coluna,

a,ba,b-| ip

$${{\bigl [}{\begin{smallmatrix}a\\b\end{smallmatrix}}{\bigr ]}},$$ você precisará especificar o que deve especificar o estado do qubit. Observe que o que é depende de qual é a base do sistema pode haver dois vetores de colunas de aparência diferentes (em bases diferentes) que representam o mesmo estado do qubit. De qualquer forma, precisamos de alguma base para trabalhar e é aqui que a "base computacional" entra em jogo.$a,b$$a,b$$-$$|\psi\rangle$

A base computacional é simplesmente os dois estados básicos compostos por (qualquer um) dos dois estados quânticos distintos nos quais o qubit pode estar fisicamente. No entanto, assim como na álgebra linear, que dois estados ( independentes linearmente ) que você escolhe são um tanto arbitrários (digo, porque em algumas situações físicas existe uma escolha natural da base; veja Einseleção ).

Por exemplo, se você tem um elétron em um campo magnético (apontando no eixo z, por exemplo), os estados da rotação apontando para cima e para baixo no eixo z são uma escolha típica para a base computacional isso claramente não é a única opção, já que o eixo z pode apontar em qualquer direção arbitrária. Esses dois estados, o e estados apontando do spin do elétron são os eigenstates do (Pauli-z) do operador e são geralmente chamado de "base computacional".| ↑ ⟩ | ↓ ⟩ σ $-$$|\uparrow\rangle$$|\downarrow\rangle$$\sigma_z$

Não, a base computacional não tem nenhum significado especial, é apenas a base que é "mais natural" em um determinado contexto e é convencionalmente denotada com e no caso de qubits.| 1 $|0\rangle$$|1\rangle$

Para dar alguns exemplos:

1. Se os qubits são codificados na polarização de fótons únicos, a base computacional é tipicamente a base formada pelos estados de polarização horizontal e vertical do fóton.
2. Se os qubits são codificados nos spins de algo como íons, átomos ou elétrons, então a "base computacional" é tipicamente assumida como a base dos eigenstates do , ou seja, o momento angular do spin na direção vertical (é claro , o que "vertical" significa também depende do contexto).$S_z$
3. Se um qubit é codificado na presença ou ausência de um fóton em um determinado modo, então a "base computacional" é, bem, o estado ocupacional desse modo.

Eu poderia continuar. Também se fala frequentemente de "base computacional" para estados de dimensões superiores (qudits), caso em que o mesmo se aplica: uma base é chamada "computacional" quando é a mais "natural" em um determinado contexto.

De um ponto de vista puramente teórico, a "base computacional" nada mais é do que uma base que geralmente é denotada com , para distingui-la de alguma outra base com alguma relação com ele. É fundamental entender que, de um ponto de vista puramente teórico, todas as bases são equivalentes entre si e só adquirem significado quando se decide que determinada base representa um conjunto específico de estados de algum sistema físico.$\{|0\rangle, |1\rangle,...\}$

Um estado quântico é um vetor em um espaço vetorial de alta dimensão (o espaço de Hilbert). Existe uma base que se torna natural para qualquer algoritmo quântico (ou computador quântico) baseado em qubits: os estados que correspondem aos números binários são especiais, são os chamados estados de base computacional.