Limites de velocidade explícitos de Lieb-Robinson

Os limites de Lieb-Robinson descrevem como os efeitos são propagados através de um sistema devido a um hamiltoniano local. Eles são frequentemente descritos no formato que e são operadores que são separados por uma distância em uma rede onde o Hamiltoniano tem (por exemplo, vizinho mais próximo) interações locais nessa estrutura, delimitadas por alguma força . As provas do limite de Lieb Robinson mostram tipicamente a existência de uma velocidade (que depende de ). Isso geralmente é realmente útil para delimitar propriedades nesses sistemas. Por exemplo, houve alguns resultados muito bons aqui

$$\left|[A,B(t)]\right|\leq Ce^{vt-l},$$ $A$$B$$l$$J$$v$$J$ quanto tempo leva para gerar um estado GHZ usando um Hamiltoniano do vizinho mais próximo.

O problema que tive é que as provas são suficientemente genéricas e é difícil obter um valor apertado sobre qual é realmente a velocidade de um determinado sistema.

Para ser específico, imagine uma cadeia unidimensional de qubits acoplada por um Hamiltoniano que para todos os . Aqui , e representam um operador de Pauli sendo aplicada a um determinado qubit e em qualquer outro lugar. Você pode dar um limite superior bom (ou seja, o mais rígido possível) para a velocidade de Lieb-Robinson para o sistema na Eq. (1)

$$H=\sum_{n=1}^N\frac{B_n}{2}Z_n+\sum_{n=1}^{N-1}\frac{J_n}{2}(X_nX_{n+1}+Y_nY_{n+1}), \tag{1}$$ $J_n\leq J$$n$$X_n$$Y_n$$Z_n$$n$$\mathbb{I}$$v$

Esta pergunta pode ser feita sob duas suposições diferentes:

• O e o são todos fixados no tempo$J_n$$B_n$
• O e o podem variar no tempo.$J_n$$B_n$

O primeiro é um pressuposto mais forte que pode facilitar as provas, enquanto o segundo geralmente é incluído na declaração dos limites de Lieb-Robinson.

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Motivação

A computação quântica e, em geral, a informação quântica, resume-se a criar estados quânticos interessantes. Através de trabalhos como esse , vemos que a informação leva um certo tempo para se propagar de um lugar para outro em um sistema quântico em evolução devido a um hamiltoniano como na Eq. (1), e que estados quânticos, como estados GHZ ou estados com uma ordem topológica, levam um certo tempo para serem produzidos. O que o resultado mostra atualmente é uma relação de escala, por exemplo, o tempo necessário é .$\Omega(N)$

Então, digamos que eu vir para cima com um esquema que faz transferência de informação, ou produz um estado etc. GHZ de uma forma que as escalas linearmente em . Quão bom é esse esquema, na verdade? Se eu tiver uma velocidade explícita, posso ver como o coeficiente de escala está muito próximo do meu esquema em comparação com o limite inferior.$N$

Se eu acho que um dia o que eu quero ver é um protocolo implementado no laboratório, então eu me preocupo muito em otimizar esses coeficientes de escala, não apenas a ampla funcionalidade de escala, porque quanto mais rápido eu puder implementar um protocolo, menos chances haverá. é para o barulho aparecer e estragar tudo.

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Outras informações

$\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\bk}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>}\newcommand{\proj}[1]{\left|#1\right>\left<#1\right|}$ Existem algumas características interessantes deste Hamiltoniano que, presumo, facilitam o cálculo. Em particular, o hamiltoniano tem uma estrutura de subespaço baseada no número de 1s na base padrão (diz-se preservar a excitação) e, melhor ainda, a transformação de Jordan-Wigner mostra que todas as propriedades de subespaços de excitação mais altos podem ser derivadas do subespaço de 1 excitação.$N\times N$$h$$2^N\times 2^N$$H$, em que Há alguma evidência de que a velocidade de Lieb-Robinson é , como aqui e aqui , mas todas elas usam uma cadeia próxima a uniformemente acoplada, que tem uma velocidade de grupo (e presumo que a velocidade de grupo esteja intimamente conectada à Velocidade de Lieb-Robinson). Isso não prova que todas as opções possíveis de força de acoplamento têm uma velocidade que é tão limitada.

$$h=\sum_{n=1}^NB_n\proj{n}+\sum_{n=1}^{N-1}J_n(\ket{n}\bra{n+1}+\ket{n+1}\bra{n}).$$ $v=2J$$2J$

Eu posso acrescentar um pouco mais à motivação. Considere a evolução no tempo de uma única excitação começando em uma extremidade da cadeia, , e qual é a sua amplitude para chegar à outra extremidade da cadeia , pouco tempo mais tarde. Para a primeira ordem em , este é Você pode ver a funcionalidade exponencial que você esperaria estar fora do 'cone de luz' definido por um sistema Lieb-Robinson, mas mais importante, se você quisesse maximizar essa amplitude, todo o$\ket{1}$$\ket{N}$$\delta t$$\delta t$

$$\bra{N}e^{-ih\delta t}\ket{1}=\frac{\delta t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n+O(\delta t^{N}).$$ $J_n=J$. Assim, em momentos curtos, o sistema uniformemente acoplado leva à transferência mais rápida. Tentando forçar isso ainda mais, você pode perguntar, como se fosse um fudge, quando pode Pegar o limite grande e usar a fórmula de Stirling no fatorial leva a que sugere uma velocidade máxima de . Fechar, mas dificilmente rigoroso (como os termos de ordem superior não são desprezíveis)! $$\frac{t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n\sim 1$$ $N$ $$\frac{etJ}{N-1}\sim 1,$$ $eJ$

$$\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\bk}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>}\newcommand{\proj}[1]{\left|#1\right>\left<#1\right|}$$

Deixe-me primeiro responder à pergunta geral sobre como obter uma velocidade Lieb-Robinson (LR) razoavelmente reduzida quando você estiver enfrentando um modelo de treliça de interação local genérica e depois voltarei ao modelo 1D XY na sua pergunta, o que é muito especial para ser exatamente solucionável.

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Método Geral

O método para obter o limite mais restrito até a data (para um modelo de interação genérico de curto alcance) é introduzido em Ref1 = arXiv: 1908.03997 . A idéia básica é que a norma do comutador de tempo desigualentre operadores locais arbitrários pode ser delimitado pela solução para um conjunto de equações diferenciais lineares de primeira ordem que vivem no gráfico de comutatividade do modelo. O gráfico de comutatividade, conforme apresentado na Seção II A da Ref1, pode ser facilmente desenhado a partir do modelo Hamiltoniano e foi projetado para refletir as relações de comutação entre diferentes operadores locais apresentados em$\|[A_X(t),B_Y(0)]\|$$\hat{H}$$\hat{H}$. Em sistemas invariantes de conversão, esse conjunto de equações diferenciais pode ser facilmente resolvido por uma transformada de Fourier, e um limite superior da velocidade LR pode ser calculado a partir da maior frequência de autenticidade usando Eq. (31) da Ref . A seguir, aplicarei esse método ao modelo 1D XY como um exemplo pedagógico. Por simplicidade, vou me concentrar no caso invariante e independente de tempo , (o limite resultante não depende dos sinais de$\omega_{\max}(i\vec{\kappa})$$|B_n|=B>0$$|J_n|=J>0$$B_n,J_n$) Para o caso não invariável e dependente do tempo da tradução, é possível resolver numericamente a equação diferencial (que é uma tarefa computacional fácil para sistemas de milhares de sites) ou usar um limite superior geral e continue usando o método abaixo (mas isso compromete levemente a tensão em comparação com o método numérico).$|J_n(t)|\leq J,~|B_n(t)|\leq B$

1. Primeiro, desenhamos o gráfico da comutatividade, como abaixo. Cada operador no Hamiltoniano ~ ( , , ) é representado por um vértice e vinculamos dois vértices se e somente se os operadores correspondentes não comutarem ( ou, no caso atual, anti-deslocamento). $X_{n}X_{n+1}$$Y_nY_{n+1}$$Z_n$

2. Em seguida, anote as equações diferenciais Eq. (10) da Ref1 :

   $$\begin{eqnarray} \dot{\bar{\gamma}}_{\alpha,n}&=&J[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n+1}(t)]+B[\bar{\gamma}_{3,n}(t)+\bar{\gamma}_{3,n+1}(t)],~~\alpha=1,2,\nonumber\\ \dot{\bar{\gamma}}_{3,n}&=&J\sum_{\alpha=1,2}[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n}(t)]. \end{eqnarray}$$

3. Fourier transformando a equação acima, temos As freqüências próprias são . A velocidade LR é dada pela Eq. (31) da Ref1 : em que

   $$\begin{equation} \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2J\cos k & 0 & B(1+e^{ik})\\ 0 & 2J\cos k & B(1+e^{ik})\\ J(1+e^{-ik}) & J(1+e^{-ik}) & 0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}. \end{equation}$$ $2J\cos k,J\cos k\pm \sqrt{(J\cos k)^2+2BJ(1+\cos k)}$ $$v_{\text{LR}}\leq \min_{\kappa>0}\frac{\omega_{\max}(i\kappa)}{\kappa} =\mathcal{Z}_{\frac{B}{2J}}J,$$ $$\begin{equation}\label{eq:vLRFHWy} \mathcal{Z}_y\equiv \min_{\kappa>0}\frac{\cosh\kappa+\sqrt{\cosh^2\kappa+4y(1+\cosh\kappa)}}{\kappa}. \end{equation}$$

Nota: Esse limite diverge quando , enquanto a velocidade de propagação da informação física permanece finita. Podemos nos livrar desse problema usando o método no segundo. VI da Ref1 . O resultado é neste limite, onde é definido como a solução para a equação .$B/J\to \infty$$v_{\text{LR}}\leq 4\mathcal{X}_0 J$$\mathcal{X}_y$$x\mathrm{arcsinh}(x)=\sqrt{x^2+1}+y$

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Limites de velocidade para alguns modelos clássicos

O método acima é completamente geral. Caso você esteja interessado em mais, listei os limites de velocidade para alguns modelos clássicos na tabela a seguir, obtidos de maneira semelhante. Observe que a velocidade LR é limitada pela menor de todas as expressões listadas (portanto, em diferentes regiões de parâmetros, expressões diferentes devem ser usadas). A função é definida como a maior raiz deTodos os parâmetros são considerados positivos (basta assumir o valor absoluto para os casos negativos).$v_{\text{LR}}$$F(J_x,J_y,J_z)$$x^3-(J_xJ_y+J_xJ_z+J_yJ_z)x-2J_xJ_yJ_z=0.$

$$\begin{array}{|c|l|} \hline \text{Model} & v_{\text{LR}} \\ \hline d\text{-dimensional TFIM} & 2\mathcal{X}_0\sqrt{dJh}= 3.02\sqrt{dJh} \\ \hat{H}= J\sum_{\langle mn\rangle} X_m X_{n}+h\sum_n Z_n & 4\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ \leq 8.93 d J \\ & 4\mathcal{X}_0dh = 6.04 d h \\ \hline d\text{-dimensional Fermi-Hubbard} & 2 \mathcal{X}_{\frac{3U}{4dJ}}dJ \\ \hat{H}=J\sum_{\langle mn\rangle, s=\uparrow,\downarrow} (a^\dagger_{m,s}a_{n,s}+\mathrm{H.c.}) & 8\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ\leq 17.9 d J \\ ~~+U \sum_n a^\dagger_{n\uparrow}a_{n\uparrow}a^\dagger_{n\downarrow}a_{n\downarrow} & \mathcal{Z}_{U/J}J~(d=1) \\ \hline \text{1D Heisenberg XYZ} & 4\mathcal{X}_0 F(J_x,J_y,J_z) \\ \hat{H}=\sum_n (J_x X_n X_{n+1}+J_y Y_n Y_{n+1}+J_z Z_n Z_{n+1}) & 34.6 \max\{J_x,J_y\}\\ \hline \end{array}$$

Quanto à qualidade desses limites, não investiguei em geral, mas para o 1D TFIM no ponto crítico , a solução exata fornece , enquanto o limite acima fornece . Da mesma forma, no ponto de FH e ponto de Heisenberg XYZ, o limite acima é todo maior que a solução exata por um fator de . [Na verdade, nesses pontos especiais, as duas últimas são equivalentes a cadeias dissociadas de TFIM, como pode ser julgado diretamente pelo seu gráfico de comutatividade.]$J=h$$v_{\text{LR}}=2J$$2\mathcal{X}_0J\approx 3.02 J$$U=0$$J_x=J_y,J_z=0$$\mathcal{X}_0\approx 1.50888$

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Limite mais apertado para 1D XY, mapeando para férmions livres

Agora vamos falar mais sobre o modelo 1D XY. Como você notou, é exatamente solucionável ao mapear para liberar férmions: Para geral é necessário resolver numericamente o problema de fermion livre, mas deixe-me mencionar dois casos especiais analiticamente tratáveis.

$$\hat{H}=\sum_nB_n(a_n^\dagger a_n-1/2)+\sum_n J_n(a_n^\dagger a_{n+1}+\mathrm{H.c.}).$$ $B_n(t),J_n(t)$

1. $B_n(t)=B,J_n(t)=J$ são fixos e a tradução é invariável. Então a solução exata é que é a função de Bessel da ordem. Portanto, a velocidade da LR é .

   $$\begin{eqnarray}\label{eq:aisigmat} a_{n}(t)&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^\pi \tilde{a}_{k}e^{-i2Jt\cos k }e^{ikx}d k\nonumber\\ &=&\sum_{m}\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt) a_{m}(0), \end{eqnarray}$$ $\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt)$$|n-m|$$\color{red}{v^{\text{XY}}_{\text{LR}}=2J}$

2. $B_n,J_n$ são fixados no tempo, mas são completamente aleatórios (desordem extinta). Então, devido à localização de muitos corpos (ou localização de Anderson na figura do férmion), as informações não se propagam neste sistema, portanto . Mais rigorosamente, em arXiv: quant-ph / 0703209 , o seguinte limite é comprovado para casos desordenados: com um cone de luz logarítmico em desaceleração .$v_{\text{LR}}=0$

   $$[A_X(t),B_Y(0)]\leq \mathrm{const.}~ t ~e^{-d_{XY}/\xi},$$ $d_{XY}=\xi \ln t$