Vantagem de simular Hamiltonianos esparsos

Na resposta de @ DaftWullie a esta pergunta, ele mostrou como representar em termos de portas quânticas a matriz usada como exemplo neste artigo . No entanto, acredito que é improvável que haja matrizes tão bem estruturadas em exemplos da vida real, portanto, eu estava tentando procurar outros métodos para simular um hamiltoniano. Eu encontrei em vários artigos uma referência a este por Aharonov e Ta-Shma nos quais, entre outras coisas, afirmam que é possível ter alguma vantagem em simular hamiltonianos esparsos . Depois de ler o artigo, no entanto, não entendi como a simulação de hamiltonianos esparsos poderia ser realizada. O problema geralmente é apresentado como uma coloração de gráfico, mas também olhando para a apresentação que o @Nelimee sugeriu ler para estudar a exponenciação da matriz, tudo isso cai na silmulação através da fórmula do produto.

Para dar um exemplo, vamos usar uma matriz aleatória como:

$$A = \left[\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{matrix}\right];$$ isso não é eremita, mas usando a sugestão de Harrow, Hassidim e Lloyd, podemos construir uma matriz eremita a partir dela:

$$C = \left[ \begin{matrix} 0 & A\\ A^{\dagger} & 0 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 4\\ 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right].$$

Agora que tenho uma matriz eremita 8x8 e 2 esparsa:

• Posso simular sua evolução de outras maneiras que não o método da fórmula do produto?
• Mesmo se eu usar a fórmula do produto, como posso explorar o fato de que ela é escassa? É apenas porque há menos entradas diferentes de zero e, portanto, deve ser mais fácil encontrar o produto dos portões básicos?

O insight que sugere que matrizes esparsas são úteis segue as linhas de: para qualquer , podemos decompô-la em termos de um conjunto de cujos componentes individuais todos comutam (tornando a diagonalização direta), Se a matriz for escassa, você não precisará de muitos distintos . Então você pode simular a evolução hamiltoniana onde . Por exemplo, no seu caso, você pode ter $H$$H_i$

$$H=\sum_{i=1}^mH_i.$$ $H_i$ $$e^{-iHt}=\prod_{j=1}^Ne^{-iH_m\delta t}e^{-iH_{m-1}\delta t}\ldots e^{-iH_{1}\delta t},$$ $t=N\delta t$ $$H_1=\frac14 X\otimes(18\mathbb{I}-6Z\otimes Z-4Z\otimes\mathbb{I}) \\ H_2=\frac14(X\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes X+Y\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes Y)\\ H_3=\frac14(11X\otimes X-Y\otimes Y)\otimes(\mathbb{I}-Z)$$ (os 3 termos correspondente ao fato de ser um Hamiltoniano 3-esparso). Acredito que exista uma estratégia aqui: você passa por todos os elementos da matriz diferente de zero do seu Hamiltoniano e os agrupa para que, se eu escrever as coordenadas deles como (e sempre incluir o complexo par conjugado), continuo adicionando outros elementos do meu conjunto não forneceram nem nem igual a ou .. Isso significaria para um Hamiltoniano separado, você tem$(i,j)$$(k,l)$$k$$l$$i$$j$$m$$m$ diferente .$H_i$

O problema é que isso não necessariamente funciona diretamente na prática. Por um lado, ainda existem exponencialmente muitos elementos da matriz pelos quais você precisa passar, mas esse sempre será o caso da maneira como você o configura.

A maneira como as pessoas contornam isso é montando um oráculo. Uma possível a Oracle é essencialmente uma função , que retorna a posição e o valor do diferente de zero na entrada fileira. Isso pode ser incorporado em um algoritmo quântico completo. Existem alguns artigos sobre esse tópico (nenhum dos quais eu ainda entendi completamente). Por exemplo, aqui e aqui . Deixe-me tentar fazer uma descrição grosseira da maneira como eles funcionam.$f(j,l)$$l^{th}$$j^{th}$

O primeiro passo é decompor o hamiltoniano como um conjunto de , multiplicado por fatores de escala positivos : Para simplificar, vamos assumir . Pode-se supor que você recebeu essa decomposição. Em seguida, define-se uma operação (construída com o controle e o controle ) que implementa . Se inserirmos um estado específico (até a normalização) no qubit de controle, aplique , em seguida, meça o qubit de controle, selecionando-o posteriormente no estado$\alpha_i$

$$H=\sum_i\alpha_iU_i$$ $H=U_1+\alpha U_2$$U_1$$U_2$$V=|0\rangle\langle 0|\otimes U_1+|1\rangle\langle 1|\otimes U_2$$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$$V$L1+αL2(1-α)2/(1+α)$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$ , se a pós-seleção for bem-sucedida, implementamos , o que ocorre com uma probabilidade de pelo menos . Você pode fazer exatamente o mesmo com vários termos e, de fato, com exponenciais de Hamiltonianos (pense na expansão em série), embora na prática algumas expansões em série melhores sejam usadas com base nas funções de Bessel.$U_1+\alpha U_2$$(1-\alpha)^2/(1+\alpha)^2$