Qual é a medida Helstrom?

Eu tenho lido o artigo Decodificação de propagação de crenças de canais quânticos passando mensagens quânticas de Joseph Renes para decodificação de canais quânticos clássicos e cruzei com o conceito de Medições de Helstrom .

Tenho algum conhecimento sobre a teoria da informação quântica e a correção de erros quânticos, mas nunca tinha lido sobre essa medida até trabalhar nesse artigo. Nesse artigo, o autor afirma que a medição é ideal para esse procedimento de decodificação, então eu gostaria de saber quais são esses tipos de medidas e como elas podem ser feitas.

A medida Helstrom é a medida que tem a probabilidade mínima de erro ao tentar distinguir entre dois estados.

Por exemplo, vamos imaginar que você tem dois estados puros e , e deseja saber qual é o seu. Se , você poderá especificar uma medida com três projetores (Para um espaço Hilbert bidimensional, )| & Phi; ⟩ ⟨ ip | & Phi; ⟩ = 0 P ψ = | ip ⟩ ⟨ ip $|\psi\rangle$$|\phi\rangle$$\langle\psi|\phi\rangle=0$ˉ P =

$$P_{\psi}=|\psi\rangle\langle\psi|\qquad P_{\phi}=|\phi\rangle\langle\phi|\qquad \bar P=\mathbb{I}-P_{\psi}-P_{\phi}.$$ $\bar P=0$

A questão é que medida você deve executar no caso de ? Especificamente, vamos assumir que , e vou me concentrar apenas nas medições projetivas (IIRC, isso é ótimo). Nesse caso, sempre existe um unitário tal que Agora, esses estados são otimamente distinguidos pore(você recebe e supõe que tinha ). Portanto, a medição ideal é ⟨ ip | & Phi; ⟩ = cos ( 2 θ ) U U | ip ⟩ = cos q | 0 ⟩ + sin q | 1 $\langle\psi|\phi\rangle\neq0$$\langle\psi|\phi\rangle=\cos(2\theta)$$U$| + ⟩ ⟨ + | | - ⟩ ⟨ - | | + ⟩ U | ψ ⟩ P ψ = U † | + ⟩ ⟨ + |

$$U|\psi\rangle=\cos\theta|0\rangle+\sin\theta|1\rangle\qquad U|\phi\rangle=\cos\theta|0\rangle-\sin\theta|1\rangle.$$ $|+\rangle\langle +|$$|-\rangle\langle -|$$|+\rangle$$U|\psi\rangle$( cos θ + sin $$P_{\psi}=U^\dagger|+\rangle\langle+|U\qquad P_{\phi}=U^\dagger|-\rangle\langle-|U\qquad \bar P=\mathbb{I}-P_{\psi}-P_{\phi}.$$ A probabilidade de sucesso é $$\left(\frac{\cos\theta+\sin\theta}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{1+\sin(2\theta)}{2}.$$

De maneira mais geral, como você distingue entre duas matrizes de densidade e ? Comece calculando e localizando os valores próprios e os vetores próprios correspondentes de . Você constrói 3 operadores de medição Se você receber a resposta , presume que tinha . Se você receber , você terá , enquanto que se você receber$\rho_1$$\rho_2$

$$\delta\rho=\rho_1-\rho_2,$$ $\{\lambda_i\}$$|\lambda_i\rangle$$\delta\rho$ $$P_1=\sum_{i:\lambda_i>0}|\lambda_i\rangle\langle\lambda_i|\qquad P_2=\sum_{i:\lambda_i<0}|\lambda_i\rangle\langle\lambda_i|\qquad P_0=\mathbb{I}-P_1-P_2.$$ $P_1$$\rho_1$$P_2$$\rho_2$$P_0$você simplesmente adivinha o que você tinha. Você pode verificar se isso reproduz a estratégia de estado puro descrita acima. Qual é a probabilidade de sucesso dessa estratégia? Podemos expandir isso como Desde e , este é apenas $$\frac12\text{Tr}((P_1+P_0/2)\rho_1)+\frac12\text{Tr}((P_2+P_0/2)\rho_2)$$ $$\frac14\text{Tr}((P_1+P_2+P_0)(\rho_1+\rho_2))+\frac14\text{Tr}((P_1-P_2)(\rho_1-\rho_2))$$ $P_1+P_2+P_0=\mathbb{I}$$\text{Tr}(\rho_1)=\text{Tr}(\rho_2)=1$ $$\frac12+\frac14\text{Tr}((P_1-P_2)(\rho_1-\rho_2))=\frac12+\frac14\text{Tr}|\rho_1-\rho_2|.$$