Qual é a melhor maneira de encontrar descontinuidades de uma função de caixa preta?

Foi sugerido que este poderia ser um lugar melhor para esta pergunta do que o Mathematics Stack Exchange, onde eu a fiz antes .

Suponha que se tenha uma função de caixa preta que possa ser avaliada em qualquer lugar (barato) em um intervalo especificado e não tenha ruído (exceto a granularidade do ponto flutuante, por exemplo). Qual seria a melhor maneira de encontrar as descontinuidades dessa função? Não sei quantas descontinuidades podem existir e talvez não.$[a,b]$

Eu posso pensar em alguns métodos simples (amostragem uniforme, refinar onde existem grandes diferenças entre amostras, ...), mas talvez haja uma maneira melhor?

A função é "razoável", na medida em que se poderia supor que ele tenha, no máximo, muitas descontinuidades, o mesmo para derivadas mais altas, não me importo se pequenas descontinuidades patológicas forem perdidas ... (o aplicativo é plotagem automatizada de funções 1d) .

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Obrigado a todos que responderam, particularmente Pedro; o método descrito em Pachón, Platte e Trefethen parece ser a melhor abordagem para mim, então agora vou implementá-lo

Se você estiver usando o Matlab, poderá estar interessado no projeto Chebfun . Chebfun pega uma função, faz uma amostra e tenta representá-la como um interpolante polinomial. Se sua função tiver descontinuidades, o Chebfun deve ser capaz de detectá-las com o splitting oncomando Você pode encontrar alguns exemplos aqui .

Se você está interessado nos algoritmos subjacentes, uma boa referência é o artigo de Pachón, Platte e Trefethen " Piecewise Smooth Chebfuns ".

Suspeito que o algoritmo chebfun deva parecer mais prático, mas é necessário mencionar mais uma maneira de detectar descontinuidades, a saber, a transformada discreta de wavelet. Você pode ter uma idéia de como isso funciona , consultando esta página de documentação do Mathematica , consulte a seção> Aplicativos> Detectar descontinuidades e bordas.

$f$

Os métodos Ponderados Não-Oscilatórios Ponderados (WENO) usam "indicadores de suavidade" para detectar descontinuidades nos métodos finitos de volume e diferença. A partir da descrição de Chebfun que Pedro deu, parece que a idéia geral é a mesma: construa um conjunto de polinômios interpoladores e use-os para calcular alguma medida de suavidade.

Veja GS Jiang e CW Shu, Implementação eficiente de esquemas de ENO ponderados, J.Comput.Phys., Vol. 126, pp. 202--228, 1996.

Junto com o @Pedro, eu examinaria os algoritmos de detecção de borda. Uma descontinuidade é um infinito na derivada; portanto, considere olhar para uma malha cada vez mais fina e segmentar regiões de interesse.

A aproximação da diferença finita à derivada de uma função contínua deve reduzir à medida que a malha é refinada. A comparação do resultado da diferença finita para a derivada entre malhas pode então revelar divergências no gradiente que sinalizam descontinuidades.

$f(x) = \mathrm{sign}(x) \sqrt{|x|}$$x=0$$h_x \rightarrow 0$