Quando usamos polinômios de Bernstein na aplicação

Quando é preferível usar os polinômios de Bernstein para aproximar uma função contínua, em vez de usar os únicos métodos preliminares de Análise Numérica: "Polinômios de Lagrange", "Operadores de diferenças finitas simples".

A questão é sobre comparar esses métodos.

Polinômios de Bernstein e polinômios de Lagrange ocupam os mesmos espaços. Portanto, em termos das possíveis funções que se pode representar, o uso de uma ou de outra não faz diferença. No entanto, se você estiver pensando em usá-las como funções básicas em um método de elementos finitos ou em um problema de interpolação, as propriedades espectrais do operador linear que você criar dependerão dos polinômios escolhidos como base. Isso pode causar diferenças na convergência de solucionadores iterativos. No entanto, na ausência de erro de álgebra linear, você obterá a mesma resposta usando qualquer uma das bases.

Comparar isso com operadores de diferenças finitas é uma história diferente. O uso de polinômios fornecerá aproximações de erro em uma norma contínua. Não sou tão versado em diferenças finitas, mas meu entendimento é que você receberá apenas uma estimativa de erro nos locais que optar por discretizar. O que acontece entre esses pontos não é tão claro.

Uso polinômios de Bernstein em um método de colocação para resolver problemas de valor-limite para ODEs e PDEs. Eles são bem interessantes.

A convergência foi exponencial para algumas BVPs lineares, mas um pouco mais lenta em comparação com a colocação de Chebyshev, Legendre Galerkin e Tau.

Aqui está a figura comparando as taxas de convergência com alguns métodos espectrais de Chebyshev. O problema de exemplo é BVP linear:

$\frac{d^2u}{dx^2}-4\frac{du}{dx}+4u = e^x +C \;,\; x \in [-1,1]$

com Dirichlet BCs homogêneos, e C é uma constante .$C=-4e/(1+e)^2$

Também enviei esta figura para o figshare .

Se você quiser, verifique o código que estou escrevendo:

http://code.google.com/p/bernstein-poly/

E aqui está o artigo arxiv que escrevi sobre a solução de BVPs elípticas em um quadrado usando a colocação polinomial de Bernstein.

No ano passado, eles comemoraram um centenário de polinômios de Bernstein - mais um fato interessante.

O artigo abaixo mostra que representar polinômios na forma de Bernstein leva a algoritmos numericamente estáveis ​​em muitos casos:

RT Farouki, VT Rajan, Sobre a condição numérica de polinômios na forma de Bernstein, Computer Aided Geometric Design , Volume 4, Edição 3, novembro 3, novembro de 1987, páginas 191-216, páginas 191-216, DOI: 10.1016 / 0167-8396 (87) 90012-4

Os pontos de controle de uma curva de Bézier estão próximos da curva, mas não necessariamente na curva. Essa é exatamente a mesma situação da aproximação dos polinômios de Bernstein e, de fato, os polinômios de Bernstein são a base da curva de Bézier. Você pode usar uma curva de Bézier de alta ordem para desenhar uma linha suave através de uma curva dada por pontos ruidosos; ninguém faria isso devido ao alto esforço computacional. De fato, a interpolação polinomial de alta ordem raramente é usada exatamente por esse motivo; apenas a interpolação Chebyshev é ocasionalmente uma exceção a essa regra.

Mas se estamos falando apenas de interpolação polinomial de baixa ordem, a especificação intuitiva de uma curva de Bézier via pontos de controle é uma clara vantagem sobre outros métodos. No entanto, nesse sentido, os NURBS são ainda melhores, mas pelo menos uma curva de Bézier é um caso especial de um NURBS, e os polinômios de Bernstein também são um ingrediente importante para o NURBS.