Convergência não monotônica no problema de ponto fixo

fundo

Estou resolvendo uma variante da equação de Ornstein-Zernike da teoria dos líquidos. Abstratamente, o problema pode ser representado como a solução do problema de ponto fixo , onde A é um operador integro-algébrico ec ( r ) é a função de solução (a função de correlação direta de OZ). Estou resolvendo pela iteração Picard, onde forneço uma solução de teste inicial c 0 ( r ) e giro novas soluções de teste pelo esquema c j + 1 = α $A c(r)=c(r)$$A$$c(r)$$c_0(r)$ onde α é um parâmetro ajustável que controla a mistura de c e A c usada na próxima solução de teste. Para esta discussão, vamos supor que o valor de α não seja importante. I Repita até a iteração converge para dentro de uma tolerância desejada, ε : Δ j + 1 ≡ ∫ d → r | c j + 1 ( r ) -

$$c_{j+1} = \alpha (A c_j) + (1-\alpha)c_j~,$$ $\alpha$$c$$Ac$$\alpha$$\epsilon$ Na minha variante do problema, A depende de um parâmetro λ , e minha pergunta é sobre como a convergência de A c = c depende desse parâmetro. $$\Delta_{j+1} \equiv \int d\vec r |c_{j+1}(r)-c_j(r)| < \epsilon~.$$ $A$$\lambda$$Ac=c$

Para uma ampla faixa de valores para , o esquema de iteração acima converge exponencialmente rapidamente. No entanto, à medida que diminuo λ , chego a um regime no qual a convergência é não monotônica, mostrada abaixo. $\lambda$$\lambda$

Questões-chave

Em soluções iterativas para problemas de ponto fixo, a convergência não monotônica tem algum significado especial? Isso indica que meu esquema iterativo está à beira da instabilidade? Mais importante , a convergência não monótona deve me fazer suspeitar que a solução "convergida" não seja uma boa solução para o problema de ponto fixo?

$x$$x=f(x)$$x^*$$\frac{\partial f}{\partial x}(x^*) \le \alpha$$\alpha$$<1$$x^*$

1. $\lambda$

2. Se sua solução convergiu dentro de uma tolerância relativa adequadamente estabelecida, que também responde por pequenos números, ela também ocorreu.