Implementação de precisão dupla rápida e precisa da função gama incompleta

Qual é a maneira mais avançada de implementar funções especiais de precisão dupla? Preciso da seguinte integral: para e , que pode ser escrita em termos da função gama incompleta inferior. Aqui está minha implementação de Fortran e C: m=0,1,2,. . . t>

$$F_m(t) = \int_0^1 u^{2m} e^{-tu^2} d u = {\gamma(m+{1\over 2}, t)\over 2 t^{m+{1\over 2}}}$$ $m=0, 1, 2, ...$$t>0$

https://gist.github.com/3764427

que usa expansão em série, resume os termos até a precisão especificada e, em seguida, usa relações de recursão para obter com eficiência valores para inferiores . Testei bem e obtenho precisão 1e-15 para todos os valores de parâmetros necessários, consulte os comentários da versão Fortran para obter detalhes.$m$

Existe uma maneira melhor de implementá-lo? Aqui está uma implementação da função gama no gfortran:

https://github.com/mirrors/gcc/blob/master/libgfortran/intrinsics/c99_functions.c#L1781

está usando aproximação de função racional em vez de resumir algumas séries infinitas que estou fazendo. Eu acho que é uma abordagem melhor, porque é preciso obter precisão uniforme. Existe alguma maneira canônica de abordar essas coisas, ou é preciso descobrir um algoritmo especial para cada função especial?

Atualização 1 :

Com base nos comentários, aqui está a implementação usando o SLATEC:

https://gist.github.com/3767621

reproduz valores de minha própria função, aproximadamente no nível de precisão 1e-15. No entanto, notei um problema que, para t = 1e-6 em = 50, o termo fica igual a 1e-303 e, para "m" superior, ele simplesmente começa a dar respostas incorretas. Minha função não tem esse problema, porque eu uso uma série de relações de expansão / recorrência diretamente para . Aqui está um exemplo de um valor correto: F$t^{m+{1\over2}}$$F_m$

$F_{100}$(1e-6)=4.97511945200351715E-003 ,

mas não consigo fazer isso usando SLATEC porque o denominador explode. Como você pode ver, o valor real de é bom e pequeno.$F_m$

Atualização 2 :

Para evitar o problema acima, pode-se usar a função dgamit( função Gamma incompleta do Tricomi) e F(m, t) = dgamit(m+0.5_dp, t) * gamma(m+0.5_dp) / 2, portanto, não há mais problema com , mas, infelizmente, a explosão ocorre por . Este, porém, pode ser alta o suficiente para os meus propósitos.m ≈ 172 $t$gamma(m+0.5_dp)$m\approx 172$$m$

A integral em questão também é conhecida como função de Boys, após o químico britânico Samuel Francis Boys, que introduziu seu uso no início dos anos 50. Alguns anos atrás, eu precisava calcular essa função em dupla precisão, o mais rápido possível, mas com precisão. Eu consegui alcançar um erro relativo da ordem de $10^{-15}$ em todo o domínio de entrada.

É geralmente vantajoso usar aproximações diferentes para argumentos pequenos e grandes, onde a melhor alternância entre "grande" e "pequeno" é melhor determinada experimentalmente e, em geral, é uma função de . Para o meu código, defini argumentos "pequenos" como aqueles que satisfazem a condição a ≤ m + 1 $m$ .$a \le m + 1{1\over 2}$

Para grandes argumentos, eu computo

$$\mathrm{F}_m(a) = {1\over 2}\gamma\left(m + {1\over 2}, a\right) \times p \times p, \space \space p = a^{-{1\over 2}\left(m+ {1\over 2}\right)}$$

Essa ordem de operações evita o fluxo insuficiente prematuro. Como precisamos apenas da função gama incompleta mais baixa de ordens sem número inteiro aqui, em vez de uma função gama incompleta mais baixa totalmente geral, é vantajoso do ponto de vista do desempenho calcular

$$\gamma \left(m + {1\over 2}, a\right) = \Gamma \left(m + {1\over 2}\right) - \Gamma\left(m + {1\over 2}, a\right)$$

usando valores tabulados de e computaçãoΓ(m+$\Gamma \left(m + {1\over 2}\right)$acordo com esta resposta, evitando cuidadosamente a questão do cancelamento subtrativo através do uso de uma operação de adição múltipla fundida. Uma possível otimização adicional é observar que paraa,γsuficientemente grande(m+$\Gamma\left(m + {1\over 2}, a\right)$$a$dentro de uma determinada precisão de ponto flutuante.$\gamma \left(m + {1\over 2}, a\right) = \Gamma \left(m + {1\over 2}\right)$

Para pequenos argumentos, comecei com uma expansão em série para a função gama incompleta mais baixa de

A. Erdelyi, W. Magnus, F. Oberhettinger e FG Tricomi, "Higher Transcendental Functions, Vol. 2". Nova York, NY: McGraw-Hill 1953

e modificou-o para calcular a função de meninos seguinte maneira (truncando a série quando o termo é suficientemente pequeno para uma determinada precisão):$\mathrm{F}_{m}(a)$

$$\mathrm{F}_{m}(a) = {1\over 2}\frac{1}{m + {1\over 2}}\exp(-a)\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^{n}}{(1 + m + {1\over 2}) \times\space ...\space \times (n + m + {1\over 2})}\right)$$

$m = 0, 1, 2, 3$$\mathrm{F}_{0}(a) = \sqrt{\frac{\pi}{4a}}\mathrm{erf}\left(\sqrt{a}\right)$$\mathrm{erf}$ERFerferff

$m = 1, 2, 3$$a \lt {2{1\over 2}}$$\mathrm{F}_{m}(a) = \frac{1}{2a}\left(\left(2m-1\right)\mathrm{F}_{m-1}(a) - \exp(-a)\right)$

$a$$m$$m$$\mathrm{F}_{m-1} = \frac{1}{2m-1} \left(2a \space \mathrm{F}_{m}(a) + \exp\left(-a\right)\right)$

Você pode dar uma olhada em Métodos numéricos para funções especiais de Amparo Gil, Javier Segura e Nico M. Temme.

Eu daria uma olhada no livro de Abramowicz & Stegun, ou na revisão mais recente que o NIST publicou há alguns anos atrás e acredito que esteja disponível online. Eles também discutem maneiras de implementar as coisas de maneira estável.

Não parece ser o estado da arte, mas o SLATEC da Netlib oferece "1400 rotinas matemáticas e estatísticas de uso geral". A gama incompleta está disponível sob as funções especiais aqui .

A implementação de tais funções é demorada e propensa a erros, então eu não faria isso a menos que fosse absolutamente necessário. O SLATEC já existe há algum tempo e é amplamente utilizado, pelo menos com base na contagem de downloads , portanto, espero que a implementação esteja madura.