Implementação de precisão dupla rápida e precisa da função gama incompleta

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Qual é a maneira mais avançada de implementar funções especiais de precisão dupla? Preciso da seguinte integral: para e , que pode ser escrita em termos da função gama incompleta inferior. Aqui está minha implementação de Fortran e C: m=0,1,2,. . . t>0

Fm(t)=0 01 1você2me-tvocê2dvocê=γ(m+1 12,t)2tm+1 12
m=0 0,1 1,2,...t>0 0

https://gist.github.com/3764427

que usa expansão em série, resume os termos até a precisão especificada e, em seguida, usa relações de recursão para obter com eficiência valores para inferiores . Testei bem e obtenho precisão 1e-15 para todos os valores de parâmetros necessários, consulte os comentários da versão Fortran para obter detalhes.m

Existe uma maneira melhor de implementá-lo? Aqui está uma implementação da função gama no gfortran:

https://github.com/mirrors/gcc/blob/master/libgfortran/intrinsics/c99_functions.c#L1781

está usando aproximação de função racional em vez de resumir algumas séries infinitas que estou fazendo. Eu acho que é uma abordagem melhor, porque é preciso obter precisão uniforme. Existe alguma maneira canônica de abordar essas coisas, ou é preciso descobrir um algoritmo especial para cada função especial?

Atualização 1 :

Com base nos comentários, aqui está a implementação usando o SLATEC:

https://gist.github.com/3767621

reproduz valores de minha própria função, aproximadamente no nível de precisão 1e-15. No entanto, notei um problema que, para t = 1e-6 em = 50, o termo fica igual a 1e-303 e, para "m" superior, ele simplesmente começa a dar respostas incorretas. Minha função não tem esse problema, porque eu uso uma série de relações de expansão / recorrência diretamente para . Aqui está um exemplo de um valor correto: Fmtm+1 12Fm

F100(1e-6)=4.97511945200351715E-003 ,

mas não consigo fazer isso usando SLATEC porque o denominador explode. Como você pode ver, o valor real de é bom e pequeno.Fm

Atualização 2 :

Para evitar o problema acima, pode-se usar a função dgamit( função Gamma incompleta do Tricomi) e F(m, t) = dgamit(m+0.5_dp, t) * gamma(m+0.5_dp) / 2, portanto, não há mais problema com , mas, infelizmente, a explosão ocorre por . Este, porém, pode ser alta o suficiente para os meus propósitos.m 172 mtgamma(m+0.5_dp)m172m

Ondřej Čertík
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Por que codificar sua própria função? GSL, cephes e SLATEC todos os implementam.
Geoff Oxberry
Atualizei a pergunta por que não uso o SLATEC.
Ondřej Čertík
@ OndřejČertík Você descobriu um bug aparente! Votou com sua pergunta!
Ali
Ali --- não é um bug no SLATEC, mas, na verdade, eu preciso dividir por para obter um valor para . Portanto, o método numérico que funciona para pode não funcionar tão bem para . t m + 1γ(z,x) Fm(t)γ(z,x)Fm(t)tm+1 12Fm(t)γ(z,x)Fm(t)
Ondřej Čertík
@ OndřejČertík OK, desculpe, meu erro, eu não verifiquei seu código antes de fazer meu comentário.
Ali

Respostas:

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A integral em questão também é conhecida como função de Boys, após o químico britânico Samuel Francis Boys, que introduziu seu uso no início dos anos 50. Alguns anos atrás, eu precisava calcular essa função em dupla precisão, o mais rápido possível, mas com precisão. Eu consegui alcançar um erro relativo da ordem de 10-15 em todo o domínio de entrada.

É geralmente vantajoso usar aproximações diferentes para argumentos pequenos e grandes, onde a melhor alternância entre "grande" e "pequeno" é melhor determinada experimentalmente e, em geral, é uma função de . Para o meu código, defini argumentos "pequenos" como aqueles que satisfazem a condição a m + 1 1m .umam+1 11 12

Para grandes argumentos, eu computo

Fm(a)=12γ(m+12,a)×p×p,  p=a12(m+12)

Essa ordem de operações evita o fluxo insuficiente prematuro. Como precisamos apenas da função gama incompleta mais baixa de ordens sem número inteiro aqui, em vez de uma função gama incompleta mais baixa totalmente geral, é vantajoso do ponto de vista do desempenho calcular

γ(m+1 12,uma)=Γ(m+1 12)-Γ(m+1 12,uma)

usando valores tabulados de e computaçãoΓ(m+1Γ(m+1 12)acordo com esta resposta, evitando cuidadosamente a questão do cancelamento subtrativo através do uso de uma operação de adição múltipla fundida. Uma possível otimização adicional é observar que paraa,γsuficientemente grande(m+1Γ(m+1 12,uma)umadentro de uma determinada precisão de ponto flutuante.γ(m+12,a)=Γ(m+12)

Para pequenos argumentos, comecei com uma expansão em série para a função gama incompleta mais baixa de

A. Erdelyi, W. Magnus, F. Oberhettinger e FG Tricomi, "Higher Transcendental Functions, Vol. 2". Nova York, NY: McGraw-Hill 1953

e modificou-o para calcular a função de meninos seguinte maneira (truncando a série quando o termo é suficientemente pequeno para uma determinada precisão):Fm(a)

Fm(a)=121m+12exp(a)(1+n=1an(1+m+12)× ... ×(n+m+12))

m=0,1,2,3F0 0(uma)=π4umaerf(uma)erfERFerferff

m=1 1,2,3uma<21 12Fm(uma)=1 12uma((2m-1 1)Fm-1 1(uma)-exp(-uma))

umammFm-1 1=1 12m-1 1(2uma Fm(uma)+exp(-uma))

njuffa
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Obrigado @njuffa pela ótima resposta. Se você criar seu código para esse código-fonte aberto, acho que seria muito útil para muitas pessoas.
Ondřej Čertík
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Atualmente, uma implementação CUDA do algoritmo descrito está disponível para download gratuito no site do desenvolvedor da NVIDIA (requer registro gratuito como desenvolvedor CUDA, aprovação geralmente dentro de um dia útil). O código está sob uma licença BSD, que deve ser compatível com praticamente qualquer tipo de projeto.
Njuffa
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Você pode dar uma olhada em Métodos numéricos para funções especiais de Amparo Gil, Javier Segura e Nico M. Temme.

John D. Cook
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Este é um ótimo livro, obrigado pela dica!
Ondřej Čertík
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Eu daria uma olhada no livro de Abramowicz & Stegun, ou na revisão mais recente que o NIST publicou há alguns anos atrás e acredito que esteja disponível online. Eles também discutem maneiras de implementar as coisas de maneira estável.

Wolfgang Bangerth
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Eu estava usando isso: dlmf.nist.gov/8 , ao implementá-lo, mas isso provavelmente é outro recurso. O capítulo 5 em Receitas numéricas também possui informações interessantes, mas aplicáveis ​​apenas às funções de uma variável.
Ondřej Čertík
Eu não acho que você encontrará algo muito mais recente do que a referência de 2001; O SLATEC será mais antigo que isso.
amigos estão dizendo sobre geoff
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Não parece ser o estado da arte, mas o SLATEC da Netlib oferece "1400 rotinas matemáticas e estatísticas de uso geral". A gama incompleta está disponível sob as funções especiais aqui .

A implementação de tais funções é demorada e propensa a erros, então eu não faria isso a menos que fosse absolutamente necessário. O SLATEC já existe há algum tempo e é amplamente utilizado, pelo menos com base na contagem de downloads , portanto, espero que a implementação esteja madura.

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