Análise numérica complexa

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Que situações de análise numérica se tornam mais / menos estáveis, têm convergência mais rápida / mais lenta ou são bastante diferentes quando se lida com funções de variável complexa em vez de funções de uma variável real?

algorithms vtt
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Sua pergunta é um pouco vaga ... Você poderia sugerir uma "situação" ou "algoritmo" específico que você tinha em mente? Nos ajudaria muito a responder sua pergunta.
Paul
O único caso em que um complexo aparece números em valores numéricos que eu conheço são as equações de Maxwell, mas não há nenhuma dificuldade intrínseca apenas por alguns números estarem em . Ainda assim, se você substituir todos os números complexos por vetores ou matrizes reais, verá que a multiplicação por um número complexo se torna multiplicação por uma matriz simétrica de inclinação. Não se isso implica alguma coisa. C
shuhalo
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@ Martin: O campo complexo é o cenário natural para polinômios devido ao teorema fundamental da álgebra. Como os autovalores de uma matriz são as raízes de seu polinômio característico e, em geral, são complexos mesmo para matrizes reais, a álgebra linear é mais naturalmente construída sobre o campo complexo.
precisa saber é o seguinte
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Por outro lado, testemunhe, por exemplo, o algoritmo QR de turno duplo, que se alterna precisamente para evitar o uso de aritmética complexa. Testemunha também o algoritmo quadrática Jenkins-Traub, que foi projetado para encontrar raízes complexas de polinômios um par conjugado de cada vez ...
JM
Estou um pouco empolgado com isso porque, para adicionar ainda mais confusão à mistura, há momentos em que números complexos são basicamente tratados apenas como pares de números reais para fins de contabilidade.
precisa saber é o seguinte

Respostas:

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A diferenciação numérica complexa é estável, ao contrário da diferenciação numérica real.

Veja as páginas 32-33 de "Análise Aplicada e Computacional Complexa" vol 3, Peter Henrici,

"A aproximação derivada da etapa complexa", JOAQUIM RRA MARTINS, PETER STURDZA e JUAN J. ALONSO,

e este artigo da Wikipedia sobre métodos variáveis ​​complexos para diferenciação numérica.

vtt
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Além disso, o uso numérico da fórmula de diferenciação de Cauchy às vezes é um algoritmo viável. Veja também os métodos de Lyness e outros que dependem da transformação rápida de Fourier para calcular os coeficientes de Taylor de uma função (ou seja, avaliar uma sequência de derivadas em um determinado valor).
JM
Por curiosidade, além do artigo da Wikipedia, existem recursos on-line para os quais você poderia nos indicar?
precisa saber é o seguinte
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@ Geoff: Isso e isso lidam com a abordagem Lyness de diferenciação; este artigo de Squire e Trapp é o artigo original que detalha a abordagem "etapa complexa" da diferenciação numérica.
JM
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A aritmética de intervalo complexa usa diferentes tipos de intervalo, por exemplo, retangular ou circular, portanto, há mais a considerar do que usar intervalos reais.

"Aritmética de intervalos complexos e suas aplicações", Miodrag Petković, Ljiljana Petković

vtt
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Por que responder sua própria pergunta três vezes em vez de responder com os três comentários de uma vez?
precisa saber é o seguinte
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Um artigo:

"Algoritmos numéricos baseados na teoria da variável complexa", JN Lyness - Anais da 22ª Conferência Nacional de 1967, 1967

vtt
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