Multigrid FAS mais lento que a correção linear de defeitos?

Eu implementei um solucionador multigrid do ciclo V usando uma correção linear de defeitos (LDC) e um esquema de aproximação total (FAS).

Meu problema é o seguinte: Usando o LDC, o resíduo é reduzido em um fator de ~ 0,03 por ciclo. A implementação do FAS também converge com um fator linear, mas o fator é apenas ~ 0,58. Assim, o FAS precisa de cerca de 20 vezes o número de ciclos.

A maior parte do código é compartilhada, a única diferença são os cálculos para baixo / para cima, o LDC usa

down:$u_H:=0,\quad b_H:=I_h^H(b_h-L_hu_h)$

up:$u_h:=u_h+I_H^hu_H$

e FAS usa

down:$u_H:=I_h^Hu_h,\quad b_H:=I_h^Hb_h+L_HI_h^Hu_h-I_h^HL_hu_h$

up:$u_h:=u_h+I_H^h(u_H-I_h^Hu_h)$

Minha configuração de teste é do "A Multigrid Tutorial, Second Edition" de Brigg, p. 64, tem a solução analítica

$u(x,y)=(x^2-x^4)(y^4-y^2) \quad$ com$x,y\in [0,1]^2$

e a equação é utilizando a matriz de 5 pontos típica linear como de Laplace-Operador . O palpite inicial é .L v = $Lv=\Delta u=:b$$L$$v=0$

Alterar a configuração de teste, por exemplo, para trivial usando uma estimativa inicial de resulta quase nos mesmos fatores de convergência.$u(x,y)=0$$v=1$

Como apenas o código para baixo / para cima difere, os resultados do LDC estão em conformidade com o livro e o FAS pelo menos parece funcionar também, não sei por que é muito mais lento na mesma configuração linear.

Existe um comportamento estranho no LDC e no FAS que ainda não posso explicar que só acontece se o palpite inicial for ruim (por exemplo, mas também em minhas experiências multigrid completas, em que a interpolação para a nova grade fina aumenta o residual de a ): se eu aumentar o número de relaxações pós-correção para um número muito alto, de modo que a solução seja resolvida com precisão de máquina na grade grossa, ela perde quase todos os dígitos ao subir um passo para a próxima grade fina.$=0$$10^{-15}$$10^{-1}$

Como uma imagem diz mais que palavras:

// first cycle, levels 0-4
// DOWN
VCycle top 4, start               res_norm 3.676520e+02 // initial residual
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 3.676520e+02
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 1.520312e+02 // relaxed (2 iterations)
VCycle tau_norm 2.148001e+01 (DEBUG calculation)
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 1.049619e+02 // restricted
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 5.050392e+01 // relaxed (2 iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 3.518764e+01 // restricted
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 1.759372e+01 // relaxed (2 iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 1.234398e+01 // restricted
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 4.728777e+00 // relaxed (2 iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 0, res_norm 3.343750e+00 // restricted
// coarsest grid
VCycle top 4, cycle 0, current 0, res_norm 0.000000e+00 // solved
// UP
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 3.738426e+00 // prolonged
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 0.000000e+00 // relaxed (many iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 1.509429e+01 // prolonged (loosing digits)
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 2.512148e-15 // relaxed (many iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 4.695979e+01 // prolonged (loosing digits)
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 0.000000e+00 // relaxed (many iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 1.469312e+02 // prolonged (loosing digits)
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 9.172812e-24 // relaxed (many iterations)

Não tenho certeza se pode haver apenas alguns dígitos ganhos por ciclo ou se isso indica um erro durante a interpolação para a grade fina. Se este for o último caso, como o LDC pode atingir proporções residuais de aproximadamente 0,03 quando usando sempre dois relaxamentos?

Não sei diretamente sua resposta, pois uso principalmente o FAS em vez de correção, pois faço multigrid para problemas não-lineares, mas alguns pensamentos podem ser observados:

• Você está aplicando um esquema de correção linear a um problema linear, por isso não é chocante que ele se dê muito bem.

• Considere suas condições de contorno: verifique se as está fazendo corretamente e observe também que BCs complicados podem parecer completamente diferentes na grade grossa, fazendo correções não tão úteis.

• Verifique novamente o tratamento do termo de origem; Lembro-me de estragar alguma coisa no estágio de prolongamento relacionado a esse termo quando o escrevi para poisson.

• Eu nunca vi a necessidade de iterar para a convergência na grade mais grossa. Uma solução depende do resíduo da grade fina estar correto, o que não é. Você está tentando empurrar esses erros para fora do domínio / suavizá-los. Se você estiver totalmente convergido na grade mais grossa em uma iteração inicial, sua solução está naturalmente muito longe da solução correta de grade fina, porque seus resíduos não estão atualizados. Esta é quase certamente a razão pela qual você está vendo resíduos saltarem no estágio de prolongamento.

• Além disso, tente um fator de relaxamento para os operadores de restrição e prolongamento, digamos 0,75.

Se isso ajudar, é assim que minha história residual do FAS se parece com um problema de poisson usando a grade única através de ciclos completos de 7V. Acredito que o fator de relaxamento foi de 0,75 e estava usando um esquema de RK de três estágios como mais suave, com uma única iteração em cada nível da grade.

$I_h^H$$\hat I_h^H$$u^h \gets u^h (u^H - I_h^H u^h)$$\hat I_h^H u^h$

Espectralmente, a restrição de estado precisa apenas de ordem secundária alta (preservação precisa de baixas frequências), mas a ordem primária (aliasing de altas frequências) não importa. A injeção tem ordem primária 0 e ordem secundária infinita. Enquanto isso, a restrição residual precisa que a ordem primária e a secundária sejam positivas (pelo menos). Veja a seção 4.3 do Guia Multigrid de Achi Brandt .

Ao projetar métodos de MG, também é bom olhar para os erros e não para os resíduos, além de garantir o peso adequado da norma.

$u_{old}^H=I_h^Hu^h$

$u^h\leftarrow u^h+I_H^h(u^H-I_h^Hu^h)=u^h+I_H^h(u^H-u_{old}^H)$

$H$$2H$$u_{old}^H$$u_{old}^H$