Quando usar o DTFT vs o DFT (e seus inversos) na análise?

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Em muitas de minhas leituras, sempre que algum autor fala sobre o trabalho no domínio da frequência (transformação) (de um sinal digital), geralmente usa o DFT, ou o DTFT (e, é claro, seus inversos correspondentes). Diferentes autores tendem a trabalhar com um ou outro.

Não consegui realmente determinar um padrão específico em relação a isso. Nisso, por que você escolheria o DTFT em vez do DFT ou vice-versa na explicação de algoritmos? Onde um ajuda você sobre o outro?

TheGrapeBeyond
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O DTFT pode ser usado quando as amostras não são igualmente espaçadas no tempo, o DFT não pode.
precisa saber é o seguinte
@DilipSarwate Ahh bom ponto.
precisa saber é o seguinte

Respostas:

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O DFT e o DTFT são obviamente semelhantes, pois ambos geram o espectro fourier de sinais discretos no tempo. No entanto, enquanto o DTFT é definido para processar um sinal infinitamente longo (soma de-infinito ao infinito), o DFT é definido para processar um sinal periódico (sendo a parte periódica de comprimento finito).

Sabemos que o número de compartimentos de frequência em seu espectro é sempre igual ao número de amostras processadas, portanto, isso também dá uma diferença nos espectros que eles produzem: o espectro DFT é discreto enquanto o espectro DTFT é contínuo (mas ambos são periódicos com respeito à frequência de Nyquist).

Como é impossível processar um número infinito de amostras, a DTFT é de menor importância para o processamento computacional real; existe principalmente para fins analíticos.

O DFT, no entanto, com seu comprimento finito do vetor de entrada, é perfeitamente adequado para processamento. No entanto, o fato de o sinal de entrada ser um trecho de um sinal periódico é desconsiderado a maior parte do tempo: Quando você transforma um espectro DFT de volta ao domínio do tempo, obtém o mesmo sinal no qual calculou o espectro. o primeiro lugar.

Portanto, embora isso não importe para os cálculos, você deve observar que o que você está vendo não existe o espectro real do seu sinal . É o espectro de um sinal teórico que você obteria se repetisse periodicamente o vetor de entrada.

Então, eu suponho que na literatura que você mencionou, toda vez que é importante que o espectro com o qual você está trabalhando seja realmente o espectro e desconsiderando o lado da computação, o autor escolheria o DTFT.

Nils Werner
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Então, se um sinal nunca é realisticamente de tamanho infinito, por que analisar usando o DTFT, em muitos trabalhos que vejo? Existe algum tipo de facilidade ou algo que vem com isso?
precisa saber é o seguinte
Mais correção matemática do que facilidade. Ou seja, ao escrever uma prova matemática para sinais não periódicos, você não tem escolha, mas assume que seu sinal tem um comprimento infinito, porque é assim que a transformada de Fourier (discreta e contínua) funciona.
Nils Werner
Não estou tentando ser difícil, mas se você sempre assume que seu sinal é periódico e o DTFT é matematicamente mais correto, então por que usar o DFT em análise? Por que usar um sobre o outro é o que estou tentando entender ao analisar algoritmos?
precisa saber é o seguinte
Quando você deseja pensar em transformar sinais com tempo limitado, você precisa pensar no seu sinal infinito como multiplicado por uma "função de janela", cortando efetivamente a parte em que está interessado. O caso mais fácil seria uma função retangular; no entanto, essa função da janela precisa ser transformada e convolvida sobre o sinal também. Isso causa manchas e o chamado efeito de vazamento.
Nils Werner
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Quando usar o DFT na análise. Meu palpite é que, vindo do lado da matemática, você deseja usar o DTFT porque não precisa levar em conta artefatos e, depois de descer para a camada de software, muda para o DFT com todos os problemas que isso traz para a mesa.
Nils Werner
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O DTFT é usado quando a matemática para provar algum ponto é mais fácil (economiza em papel e / ou giz) ao assumir um número infinito de amostras. Isso significa que é realmente inútil no mundo real (você estará morto muito antes de encontrar amostras suficientes).

A DFT é quando você escolhe um número finito útil de amostras para trabalhar (fornecendo uma boa matriz quadrada de tamanho finito equivalente multiplicado exato), sejam elas periódicas ou não (assumindo que a periodicidade do comprimento do quadro seja outra ilusão na mente de algumas pessoas) para tornar a matemática mais tratável). O uso de uma DFT, portanto, geralmente implica uma janela (retangular, se não outra coisa) que não é necessária na DTFT. Essa janela vem com artefatos às vezes desagradáveis, bem como a óbvia perda de informações sobre o sinal fora da janela, que é uma desvantagem da DFT.

hotpaw2
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+1, mas você pode explicar um pouco por que a periodicidade implícita da DFT é uma ilusão?
DEVE
A suposição é inconsistente com os dados reais fora da janela do DFT em muitos usos comuns (áudio, etc.)
hotpaw2
Eu votei com você, mas por que você diz que é uma ilusão que a DFT assuma que os dados são periódicos? Se eu fizer uma pergunta, você pode responder?
precisa saber é o seguinte
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Pode ser uma boa pergunta para os sites de troca de matemática, uso do inglês, psicologia ou filosofia. As funções do operador antropomorfisante podem ser um comportamento humano interessante.
precisa saber é o seguinte
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Ayushi
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