Como entender o ganho de Kalman intuitivamente?

O algoritmo de filtro Kalman funciona da seguinte maneira

Inicializar x 0 | 0 e P 0 | 0 .$\hat{\textbf{x}}_{0|0}$$\textbf{P}_{0|0}$

Em cada iteração$k=1,\dots,n$

Prever

Previsto (a priori) estado estimativa x k | k - 1 = F k x k - 1 | k - 1 + B k u k Estimativa (a priori) de covariância estimada P k | k - 1 = F k P k - 1 | k - 1 F T k + Q k Atualização

$$\hat{\textbf{x}}_{k|k-1} = \textbf{F}_{k}\hat{\textbf{x}}_{k-1|k-1} + \textbf{B}_{k} \textbf{u}_{k}$$ $$\textbf{P}_{k|k-1} = \textbf{F}_{k} \textbf{P}_{k-1|k-1} \textbf{F}_{k}^{\text{T}} + \textbf{Q}_{k}$$

Inovação ou medição residual Inovação (ou residual) covariância Ganho ideal de Kalman Estimativa do estado atualizada (a posteriori) Atualizado (a posteriori) estimativa de covariância Sk=HkPk| k-1H T k +R

$$\tilde{\textbf{y}}_k = \textbf{z}_k - \textbf{H}_k\hat{\textbf{x}}_{k|k-1}$$ $$\textbf{S}_k = \textbf{H}_k \textbf{P}_{k|k-1} \textbf{H}_k^\text{T} + \textbf{R}_k$$ x k | k = x k | k - 1 + K k ˜ y k P k | k =(I- K k H k ) P k | k - $$\textbf{K}_k = \textbf{P}_{k|k-1}\textbf{H}_k^\text{T}\textbf{S}_k^{-1}$$ $$\hat{\textbf{x}}_{k|k} = \hat{\textbf{x}}_{k|k-1} + \textbf{K}_k\tilde{\textbf{y}}_k$$ $$\textbf{P}_{k|k} = (I - \textbf{K}_k \textbf{H}_k) \textbf{P}_{k|k-1}$$

O ganho de Kalman representa a importância relativa do erro com relação à estimativa anterior .~ y k x k | k - $K_k$$\tilde{\textbf{y}}_k$$\hat{\textbf{x}}_{k|k-1}$

Gostaria de saber como entender a fórmula para o ganho Kalman intuitivamente ? Considere o caso de os estados e saídas serem escalares, por que o ganho é maior, quando$K_k$

• $\textbf{P}_{k|k-1}$ é maior

• $\textbf{H}_k$ é maior

• $\textbf{S}_k$ é menor?

Obrigado e cumprimentos!

$K$$K$

$\displaystyle \quad\ \bf{K_k} = \bf{P_k^-\, H_k^{\rm T} (H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k)^{-1}} = \bf{\frac {P_k^-\, H_k^{\rm T}}{H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}$

$R_k$$P_k$$x_{k}⁻$$ỹ_k$

$\displaystyle \quad\ \lim\limits_{\bf{R_k \to 0}} \bf{{P_k^-\, H_k^{\rm T}} \over\ {H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}\ = \bf{H_k^{-1}}$

$\displaystyle \quad\ \lim\limits_{\bf{P_k \to 0}} \bf{{P_k^-\, H_k^{\rm T}} \over\ {H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}\ = \bf 0$

Substituindo o primeiro limite na equação de atualização da medição

$\displaystyle \quad\ \bf{\hat x_k} = \bf{x_k^-} + \bf{K_k}(\bf{\tilde y_k}-\bf{H_k}\bf{x_k^-})$

$R$

$H P^⁻ H^T$$R$$x_k⁻$

O ganho de Kalman diz quanto eu quero alterar minha estimativa, dada uma medida.

${\bf S}_k$${\bf z}_k$${\bf S}_k$

${\bf P}_k$${\bf x}_k$${\bf P}_k$

${\bf P}_k$${\bf P}_k \rightarrow 0$$K\rightarrow 0$

$\bf{K_k}$

$\displaystyle \quad\ \bf{K_k} = \bf{P_k^-\, H_k^{\rm T} (H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k)^{-1}} = \bf{H_k^-\frac {H_kP_k^-\, H_k^{\rm T}}{H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}$

$\bf{R_k}$

$\bf{H_k^-}$

$\bf{K_k}$

$\displaystyle \quad\ \bf{\hat x_k} = \bf{x_k^-} + \bf{K_k}(\bf{\tilde y_k}-\bf{H_k}\bf{x_k^-})$

Estou trabalhando no algoritmo Kalman Filter (KF). Observei que o ganho de kalman lida com a convergência do algoritmo com o tempo, ou seja, com a rapidez com que o algoritmo corrige e minimiza o residual.

Chegando à equação, escolha um valor de ganho kalman inicial e varie de baixo para alto, o que pode lhe proporcionar um valor aproximado.