Como derivar o preditor de filtro Kalman estacionário?

Em seu capítulo sobre filtros Kalman, meu livro de DSP afirma, aparentemente do nada, que o filtro estacionário Kalman para um sistema

$$\begin{cases} x(t+1) &= Ax(t) + w(t) \\ y(t) &= Cx(t) + v(t) \end{cases}$$

tem o preditor

$$\hat{x}(t+1|t) = (A-A\bar{K}C)\hat{x}(t|t-1) + A\bar{K}y(t)$$

covariância vetorial de estado estacionário e ganho de Kalman

ˉ K = ˉ P CT(C ˉ P CT+R)-

$$\bar{P} = A\bar{P}A^T - A\bar{P}C^T ( C\bar{P}C^T + R )^{-1}C\bar{P}A^T + Q$$ $$\bar{K} = \bar{P}C^T(C\bar{P}C^T+R)^{-1}$$

onde e denotam as covariâncias do ruído de entrada e do ruído de medição , respectivamente.R w $Q$$R$$w$$v$

Não vejo como chegar a isso a partir do preditor de variação mínima. Alguém poderia me explicar ou me indicar um recurso que deriva a expressão? Este é o filtro de variação mínima de variação de tempo, que posso derivar:

P(t+1|t)=A(P(t|t-1)-P(t

$$\hat{x}(t+1|t) = (A-K(t)C)\hat{x}(t|t-1) + K(t)y(t)$$ K ( t ) = A P ( t | t - 1 ) C T ( C P ( t | t $$P(t+1|t) = A\left(P(t|t-1)-P(t|t-1)C^T(CP(t|t-1)C^T + R)^{-1}CP(t|t-1)\right)A^T+Q$$ $$K(t) = AP(t|t-1)C^T(CP(t|t-1)C^T+R)^{-1}$$

Não tenho certeza de como ir daqui para o filtro estacionário acima.

Atualização: Vejo que a substituição de e no filtro de variação de tempo resulta em o filtro estacionário, mas por que multiplicar com ? Isso é apenas um sintoma de uma escolha infeliz de notação, significando que ou realmente não indicam o ganho de Kalman?K(t)=A ˉ K AK ˉ $\bar{P} = P(t+1|t) = P(t|t-1)$$K(t)=A\bar{K}$$A$$K$$\bar{K}$

Suas derivações estão corretas.

$\bar P = P(t|t-1)$$K(t) = A \bar K$

Esta é a sua confusão:

1. $t|t-1$
2. Como isso pode ser "estacionário" quando sua derivação mostra que está variando o tempo?

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1. Má escolha de notação por parte do livro

$\bar P = A\bar PA^T - A\bar P C^T(C\bar P C^T + R)^{-1}C\bar PA^T + Q$$\bar P$

1. Incompreensão da palavra "estacionária".

$P$$K$$\bar P$$\bar K$

• Valores anteriores de si mesmos
• $A$$C$$A$$C$
• $Q$$R$

$K$$P$$y$

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Conclusão:

As equações de "variação do tempo" derivadas são equivalentes às do livro. Além disso, as diferenças notacionais, houve um pequeno mal-entendido da sua parte em relação ao que muda e o que não muda.