Por que a autocorrelação obtém seu pico em zero?

Respostas:

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Você está procurando uma prova formal ou a intuição por trás disso? No caso posterior: "Nada pode ser mais parecido com uma função do que ele próprio". A autocorrelação em lag mede a semelhança entre uma função a mesma função deslocada por . Note-se que se é periódica, deslocado por qualquer múltiplo inteiro de e coincidem, de modo a autocorrelação tem uma forma de pente - com picos nos múltiplos inteiros do período com a mesma altura que o pico central.τfτffτf

pichenettes
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@JasonR Um sinal de energia finita (que é o que o OP está perguntando, já que ele diz que a função de autocorrelação com atraso zero é a energia) não pode ser periódico e, portanto, a segunda metade desta resposta não é aplicável à pergunta do OP, mas se aplica à função de autocorrelação periódica que se define para sinais periódicos. Na minha resposta , tentei distinguir esses dois casos e também apontei que as funções de autocorrelação de sinais periódicos podem ter vales periódicos tão profundos quanto os picos periódicos.
Dilip Sarwate
@Dilip: Como sempre, bons pontos.
Jason R
não é uma prova, nem mesmo perto de uma prova. apenas palavras que funcionam apenas porque você sabe a resposta.
John Smith
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A função de autocorrelação de um sinal de energia finita de tempo discreto periódico é dada por para sinais reais e sinais complexos, respectivamente. Restringindo-nos a sinais reais para facilitar a exposição, consideremos a soma . Para o atraso fixo e um dado , normalmente terão valor positivo ou negativo. Se acontecer que, para um determinado atraso , não seja negativo para todos os , todos os termos da soma serão somados (sem cancelamento) e, portanto,

Rx[n]=m=x[m]x[mn]    or   Rx[m]=m=x[m](x[mn])
x[m]x[mn]nmx[m]x[mn]nx[m]x[mn]mRx[n]x [ m - n ] x [ m ] x [ m - n ] x [ m ] x x [ m ] = { sin ( 0,1 π m )é garantido que tenha um valor positivo. De fato, a soma será maior se todos os picos em se alinharem com os picos em e os vales em com os vales em . Por exemplo, se é uma função sinc com excesso de amostra, digamos, com picos em e vales em , então terá o máximo em (e, pelo mesmo token, teráx[mn]x[m]x[mn]x[m]x
x[m]={sin(0.1πm)0.1πm,m0,1,m=0
m=0,±25,±45,±15,±35,±55, x(t)Rx[n]n=0,±25,±45,n=±15,±n=0,±25,±45,mínimos em quando os picos se alinham com os vales). O máximo global de está obviamente no atraso quando o pico mais alto em e coincide. De fato, essa conclusão se aplica não apenas a esse sinal sinc, mas a qualquer sinal. No atraso , temos e garantimos que não apenas todos os picos e vales estão alinhados com cada um outro (não importa onde isso ocorra em ), mas também que os picos mais altos e os vales mais profundos estejam alinhados adequadamente.n=±15,±35,±55,R x [ n ] n = 0 X [ m ] x [ m - n ] n = 0 R X [ 0 ] = Σ m = - ( x [ m ] ) 2 x [ m ]Rx[n]n=0x[m]x[mn] n=0
Rx[0]=m=(x[m])2
x[m]

Mais formalmente, para pedantes como @JohnSmith, que exigem provas formais, a desigualdade de Cauchy diz que, para seqüências de valores complexos e , Restringindo-nos a seqüências com valor real apenas para facilitar a exposição, uma versão mais detalhada diz que onde igualdade mantém no limite superior (inferior) se houver um número positivo (negativo) modo que , (ou seja,uv

|mu[m](v[m])|2m|u[m]|2n|v[m]|2.
m(u[m])2m(v[m])2mu[m]v[m]m(u[m])2m(v[m])2
λu=λvu[m]=λv[m] m onde ( )). Reconhecendo que as somas dentro das raízes quadradas são as energias e das seqüências, podemos escrever que Definindo e onde é algum número inteiro, temos que e reconhecendo que agoraλ>0λ<0EuEv
EuEvmu[m]v[m]EuEv
u[m]=x[m]v[m]=x[mn]n
m(x[m])2m(x[mn])2Rx[n]m(x[m])2m(x[mn])2
Eu=Ev=Ex, temos que com igualdade em um dos limites se para todos os . Finalmente, observando que e que quando , a sequência é idêntica à sequência (ou seja, é o número real positivo, de modo que para todos os ), temos que mostrando que tem um valor de pico em
ExRx[n]Ex
x[m]=λx[mn]m
Ex=m(x[m])2=Rx[0]
n=0u[m]=x[m]v[m]=x[mn]=x[m0]=x[m]λ=1u[m]=λv[m]m
Rx[0]Rx[n]Rx[0]
Rx[n]n=0, todos os outros valores de autocorrelação são menores que esse pico.


Quando é um sinal periódico de potência finita, as somas dadas acima para divergem. Nesses casos, usa-se a função de autocorrelação periódica que é o período de , que é, para todos os números inteiros . Observe que é uma função periódica de . Agora, embora seja verdade quepara , o valor máximo também se repete periodicamente:x[m]Rx[n]

Rx[n]=m=0N1x[m](x[mn])
Nx[m]x[m]=x[mN]mRx[n]nRx[0]|Rx[n]|1<n<NRx[0]Rx[kN]=Rx[0] para todos os números inteiros . Observe também que é possível que para alguns , normalmente em se for par, e para que possamos ter vales tão profundos quanto os picos mais altos da função de autocorrelação periódica . O exemplo mais simples dessa sequência é quando e um período da sequência é cuja autocorrelação periódica é apenas a sequência periódica , ou seja, alternando picos e vales com a autocorrelação tendo valor de pico quandokRx[n]=Rx[0]n{1,2,,N1}n=N/2NN=2[1 1][2 2]Rx[n]2né um número inteiro par (não se esqueça que é um número inteiro par!) e com o valor "anti pico" nos valores ímpares de . De maneira mais geral, temos esse fenômeno sempre que é par e um período pode ser decomposto em .02nNx[x,x]

Dilip Sarwate
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usando

(x[n]x[n+m])2=x2[n]+x2[n+m]2x[n]x[n+m]

pode-se mostrar facilmente que

Rx[m]=n=x[n]x[n+m]=n=x2[n]12n=(x[n]x[n+m])2= Rx[0]12n=(x[n]x[n+m])2

o primeiro termo é simplesmente e o segundo termo é um número não negativo sendo subtraído do primeiro. isso significa que não pode exceder para nenhum .R x [ m ] R x [ 0 ] mRx[0]Rx[m]Rx[0]m

Robert Bristow-Johnson
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a única resposta correta aqui. muito obrigado, tive problemas para derivar isso sozinho.
John Smith