Eu sei que o deslocamento zero na função de autocorrelação é igual à sua energia, mas gostaria de entender por que o pico está em zero.
autocorrelation
itamarb
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Respostas:
Você está procurando uma prova formal ou a intuição por trás disso? No caso posterior: "Nada pode ser mais parecido com uma função do que ele próprio". A autocorrelação em lag mede a semelhança entre uma função a mesma função deslocada por . Note-se que se é periódica, deslocado por qualquer múltiplo inteiro de e coincidem, de modo a autocorrelação tem uma forma de pente - com picos nos múltiplos inteiros do período com a mesma altura que o pico central.τ f τ f f τ f
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A função de autocorrelação de um sinal de energia finita de tempo discreto periódico é dada por para sinais reais e sinais complexos, respectivamente. Restringindo-nos a sinais reais para facilitar a exposição, consideremos a soma . Para o atraso fixo e um dado , normalmente terão valor positivo ou negativo. Se acontecer que, para um determinado atraso , não seja negativo para todos os , todos os termos da soma serão somados (sem cancelamento) e, portanto,Rx[n]=∑m=−∞∞x[m]x[m−n] or Rx[m]=∑m=−∞∞x[m](x[m−n])∗ x[m]x[m−n] n m x[m]x[m−n] n x[m]x[m−n] m Rx[n] x [ m - n ] x [ m ] x [ m - n ] x [ m ] x x [ m ] = { sin ( 0,1 π m )é garantido que tenha um valor positivo. De fato, a soma será maior se todos os picos em se alinharem com os picos em e os vales em
com os vales em . Por exemplo, se é uma função sinc com excesso de amostra, digamos,
com picos em e vales em
, então terá o
máximo em (e, pelo mesmo token, teráx[m−n] x[m] x[m−n] x[m] x x[m]={sin(0.1πm)0.1πm,1,m≠0,m=0 m=0,±25,±45,… ±15,±35,±55,… x(t) Rx[n] n=0,±25,±45,…n=±15,±n=0,±25,±45,… mínimos em quando os picos se alinham com os vales). O máximo global de está obviamente no atraso
quando o pico mais alto em e coincide. De fato, essa conclusão se aplica não apenas a esse sinal sinc, mas a qualquer sinal. No atraso , temos
e garantimos que não apenas todos os picos e vales estão alinhados com cada um outro (não importa onde isso ocorra em ), mas também que os picos mais altos e os vales mais profundos estejam alinhados adequadamente.n=±15,±35,±55,… R x [ n ] n = 0 X [ m ] x [ m - n ] n = 0 R X [ 0 ] = ∞ Σ m = - ∞ ( x [ m ] ) 2 x [ m ]Rx[n] n=0 x[m] x[m−n] n=0 Rx[0]=∑m=−∞∞(x[m])2 x[m]
Mais formalmente, para pedantes como @JohnSmith, que exigem provas formais, a desigualdade de Cauchy diz que, para seqüências de valores complexos e , Restringindo-nos a seqüências com valor real apenas para facilitar a exposição, uma versão mais detalhada diz que onde igualdade mantém no limite superior (inferior) se houver um número positivo (negativo) modo que , (ou seja,u v ∣∣∣∑mu[m](v[m])∗∣∣∣2≤∑m|u[m]|2∑n|v[m]|2. −∑m(u[m])2∑m(v[m])2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√≤∑mu[m]v[m]≤∑m(u[m])2∑m(v[m])2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√ λ u=λv u[m]=λv[m] ∀m onde ( )). Reconhecendo que as somas dentro das raízes quadradas são as energias e das seqüências, podemos escrever que
Definindo e onde é algum número inteiro, temos que
e reconhecendo que agoraλ>0 λ<0 Eu Ev −EuEv−−−−√≤∑mu[m]v[m]≤EuEv−−−−√ u[m]=x[m] v[m]=x[m−n] n −∑m(x[m])2∑m(x[m−n])2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√≤Rx[n]≤∑m(x[m])2∑m(x[m−n])2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√ Eu=Ev=Ex , temos que
com igualdade em um dos limites se para todos os . Finalmente, observando que
e que quando , a sequência é idêntica à sequência (ou seja, é o número real positivo, de modo que para todos os ), temos que
mostrando que tem um valor de pico em−Ex≤Rx[n]≤Ex x[m]=λx[m−n] m Ex=∑m(x[m])2=Rx[0] n=0 u[m]=x[m] v[m]=x[m−n]=x[m−0]=x[m] λ=1 u[m]=λv[m] m −Rx[0]≤Rx[n]≤Rx[0] Rx[n] n=0 , todos os outros valores de autocorrelação são menores que esse pico.
Quando é um sinal periódico de potência finita, as somas dadas acima para divergem. Nesses casos, usa-se a função de autocorrelação periódica que é o período de , que é, para todos os números inteiros . Observe que é uma função periódica de . Agora, embora seja verdade quepara , o valor máximo também se repete periodicamente:x[m] Rx[n] Rx[n]=∑m=0N−1x[m](x[m−n]) N x[m] x[m]=x[m−N] m Rx[n] n Rx[0]≥|Rx[n]| 1<n<N Rx[0] Rx[kN]=Rx[0]
para todos os números inteiros . Observe também que é possível que
para alguns , normalmente em se for par, e para que possamos ter vales tão profundos quanto os picos mais altos da função de autocorrelação periódica . O exemplo mais simples dessa sequência é quando e um período da sequência é cuja autocorrelação periódica é apenas a sequência periódica , ou seja, alternando picos e vales com a autocorrelação tendo valor de pico quandok Rx[n]=−Rx[0] n∈{1,2,…,N−1} n=N/2 N N=2 [1 −1] [2 −2] Rx[n] 2 n é um número inteiro par (não se esqueça que é um número inteiro par!) e com o valor "anti pico" nos valores ímpares de . De maneira mais geral, temos esse fenômeno sempre que é par e um período pode ser decomposto em .0 −2 n N x⃗ [x′→,−x′→]
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usando
pode-se mostrar facilmente que
o primeiro termo é simplesmente e o segundo termo é um número não negativo sendo subtraído do primeiro. isso significa que não pode exceder para nenhum .R x [ m ] R x [ 0 ] mRx[0] Rx[m] Rx[0] m
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