Covariância vs Autocorrelação

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Estou tentando descobrir se existe uma relação direta entre esses conceitos. Estritamente a partir das definições, elas parecem ser conceitos diferentes em geral. Quanto mais penso nisso, no entanto, mais acho que eles são muito semelhantes.

Sejam vetores aleatórios do WSS. A covariância, , é dada por onde representa o hermitiano do vetor.X,YCXY

CXY=E[(Xμx)(Yμy)H]
H

Seja um vetor aleatório do WSS. A função de correlação automática, , é fornecida porZRXX

RZZ(τ)=E[(Z(n)μz)(Z(n+τ)μz)H]

Editar Nota Há uma correção para esta definição aplicada ao processamento de sinais, consulte a resposta de Matt abaixo.

A covariância não envolve um conceito de tempo, assume que cada elemento do vetor aleatório é uma realização diferente de algum gerador aleatório. A autocorrelação assume que um vetor aleatório é a evolução no tempo de algum gerador aleatório inicial. No entanto, no final, ambos são a mesma entidade matemática, uma sequência de números. Se você deixar , aparecerá Existe algo mais sutil que eu estou sentindo falta?X=Y=Z

CXY=RZZ

rbell
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A definição de autocorrelação é declarado incorretamente na questão como fora apontado por MattRZZ(τ)
ijuneja

Respostas:

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De acordo com sua definição de autocorrelação, a autocorrelação é simplesmente a covariância das duas variáveis ​​aleatórias e . Essa função também é chamada de autocovariância .Z ( n + τ )Z(n)Z(n+τ)

Além disso, no processamento de sinal, a autocorrelação é geralmente definida como

RXX(t1,t2)=E{X(t1)X(t2)}

isto é, sem subtrair a média. A autocovariância é dada por

CXX(t1,t2)=E{[X(t1)μX(t1)][X(t2)μX(t2)]}

Essas duas funções estão relacionadas por

CXX(t1,t2)=RXX(t1,t2)μX(t1)μX(t2)
Matt L.
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Se você considerar como uma variável, a autocorrelação se tornará uma função desse "intervalo de tempo", que pode gerar informações muito interessantes sobre o conjunto de dados. Veja a relação entre autocorrelação, transformadas discretas de Fourier e o teorema de Wiener-Khinchin. τ
28417 PhilMacKay
@PhilMacKay: Claro, mas isso só funciona para processos WSS. Eu dei as definições para o caso geral, onde os processos não são necessariamente estacionários.
Matt L.
Sim, de fato, processos não estacionários podem ser irritantes para a análise de dados, e é por isso que sempre tento desestimular os dados antes de usar minhas amadas ferramentas estatísticas! Nem sempre é possível, no entanto ...
PhilMacKay 28/02
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Observe como sua definição de autocorrelação inclui um termo adicional , que especifica um deslocamento das duas seqüências do número e . De fato, a notação sugere que é uma função contínua definida para qualquer , enquanto é um escalar.τZ(n)Z(n+τ)RZZ(τ)τR+CXY

Como você mencionou, se você deixar , estará implicando que , que é um caso especial de .τ = 0 R Z Z ( τ )X=Y=Zτ=0RZZ(τ)

Na minha experiência pessoal (astrofísica, processamento de vários sensores), a covariância foi usada como um coeficiente para verificar a similaridade de dois conjuntos de dados, enquanto a autocorrelação foi usada para caracterizar a distância de correlação, ou seja, a rapidez com que um dado evolui para se tornar outro dado. inteiramente.

PhilMacKay
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