Distribuição marginal da diagonal de uma matriz distribuída inversa Wishart

Suponha . Estou interessado na distribuição marginal dos elementos diagonais . Existem alguns resultados simples na distribuição de submatrizes de (pelo menos alguns listados na Wikipedia). A partir disso, posso descobrir que a distribuição marginal de qualquer elemento único na diagonal é gama inversa. Mas não consegui deduzir a distribuição conjunta. $X\sim \operatorname{InvWishart}(\nu, \Sigma_0)$ $\operatorname{diag}(X) = (x_{11}, \dots, x_{pp})$ $X$

Eu pensei que talvez pudesse ser derivado pela composição, como:

p (x_{11} | x_{Eu Eu}, Eu > 1) p (x_{22} | x_{Eu Eu}, Eu > 2) ... p (x_{(p - 1) (p - 1)} | x_{p p}) p (x_{p p}),

$p(x_{11} | x_{ii}, i\gt 1)p(x_{22}|x_{ii}, i>2)\dots p(x_{(p-1)(p-1)}|x_{pp})p(x_{pp}),$

mas nunca cheguei a lugar algum e suspeito ainda que estou perdendo algo simples; parece que isso "deveria" ser conhecido, mas não consegui encontrá-lo / mostrá-lo.

distributions probability pdf JMS
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A proposição 7.9 de Bilodeau e Brenner (o pdf está disponível gratuitamente na web) fornece um resultado promissor para o Wishart (talvez ele seja transferido para o inverso Wishart). Se você particionar

em blocos como

, então

é Wishart, como é

, e eles são independentes.

X

$X$

X_{11}, X_{12}; X_{21}, X_{22}

$X_{11},X_{12};X_{21},X_{22}$

X_{22}

$X_{22}$

X_{11} - X_{12} X_{22}^{- 1} X_{21}

$X_{11} - X_{12}X_{22}^{-1}X_{21}$

23611 shabbychef

X_{12}

$X_{12}$

Respostas:

Σ = diag (Σ) Q diag (Σ)^{⊤} = D Q D^{⊤}

$\Sigma = \text{diag}(\Sigma) \ Q \ \text{diag}(\Sigma)^\top = D\ Q \ D^\top$

Q

$Q$

q_{i i} = 1

$q_{ii} = 1$

Σ

$\Sigma$

D = [D]_{i i} = [Σ]_{i i}

$D = [D]_{ii} = [\Sigma]_{ii}$

d_{i j} = 0, i \neq j

$d_{ij} = 0, \ i \ne j$

$d$ $\Sigma$

Σ \sim Eu W (ν + d - 1, 2 ν Λ), ν > d - 1

$\Sigma \sim \mathcal{IW}(\nu +d -1, 2\nu \Lambda), \quad \nu > d-1$

$\sigma_{ii} = [\Sigma]_{ii}$ são distribuídos marginalmente como

σ_{Eu Eu} \sim invi- χ^{2} (ν + d - 1, \frac{λ_{Eu Eu}}{ν - d + 1})

$\sigma_{ii} \sim \text{inv-$\chi^2$}\left(\nu+d-1,\frac{\lambda_{ii}}{\nu -d + 1}\right)$

Uma boa referência com uma variedade de anteriores para a matriz de covariância que se decompõe em diferentes distribuições de correlação de variância é dada aqui

user3303
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