Quantos adesivos eu preciso para concluir meu álbum FIFA Panini?

Estou jogando o Álbum de figurinhas online da FIFA Panini , que é uma adaptação da Internet dos álbuns clássicos da Panini, geralmente publicados para a copa do mundo de futebol, o campeonato europeu e possivelmente outros torneios.

O álbum possui espaços reservados para 424 adesivos diferentes. O objetivo do jogo é coletar todos os 424. Os adesivos vêm em embalagens de 5, que podem ser obtidas através de códigos encontrados on-line (ou, no caso do clássico álbum impresso, comprado na banca de jornais local).

Eu faço as seguintes suposições:

• Todos os adesivos são publicados na mesma quantidade.
• Um pacote de adesivos não contém duplicatas.

Como posso descobrir quantos pacotes de adesivos eu preciso adquirir para ter certeza (digamos 90%) de que tenho todos os 424 adesivos exclusivos?

Esse é um belo problema do colecionador de cupons, com uma pequena reviravolta introduzida pelo fato de que os adesivos vêm em embalagens de 5.

Se os adesivos foram comprados individualmente, o resultado é conhecido, como você pode ver aqui .

Todas as estimativas para um limite superior de 90% para adesivos comprados individualmente também são limites superiores para o problema com um pacote de 5, mas um limite superior menos próximo.

Eu acho que obter um limite superior de 90% de probabilidade melhor, usando o pacote de 5 dependências, ficaria muito mais difícil e não daria um resultado muito melhor.

Portanto, usando a estimativa da cauda com e , você poderá uma boa resposta$P[T>\beta n \log n] \leq n^{-\beta+1}$$n=424$$n^{-\beta+1} = 0.1$

EDIT :

O artigo "O problema do colecionador com desenhos em grupo" (Wolfgang Stadje), uma referência ao artigo trazido por Assuranceturix, apresenta uma solução analítica exata para o Problema do colecionador de cupons com "pacotes de adesivos".

Antes de escrever o teorema, algumas definições de notação: seria o conjunto de todos os adesivos possíveis,. seria o subconjunto que lhe interessa (no OP, ) e. Vamos desenhar, com substituição, subconjuntos aleatórios de adesivos diferentes. será o número de elementos de que aparecem em pelo menos um desses subconjuntos.$S$$s = |S|$$A \subset S$$A = S$$l = |A|$$k$$m$$X_{k}(A)$$A$

O teorema diz que:

Assim, para a OP temos e . Fiz algumas tentativas com valores de próximos à estimativa para o problema do coletor de cupons clássico (729 pacotes) e obtive uma probabilidade de 90,02% para k igual a 700 .$l=s=n=424$$m=5$$k$

Portanto, não estava tão longe do limite superior :)

Outro dia, me deparei com um artigo que aborda uma questão intimamente relacionada:

http://www.unige.ch/math/folks/velenik/Vulg/Paninimania.pdf

Se eu entendi corretamente, o número esperado de pacotes que você precisaria comprar seria:

$\binom{424}{5}\sum_{j=1}^{424}\left(-1\right)^{j+1}\frac{\binom{424}{j}}{\binom{424}{5}-\binom{424-j}{5}}$

No entanto, como eqperes aponta nos comentários, a pergunta específica que o OP faz é realmente abordada em detalhes em outro artigo que não é de acesso aberto.

A conclusão final sugere a seguinte estratégia (para um álbum de 660 adesivos):

• Compre uma caixa de 100 pacotes de 5 adesivos (500 adesivos, com garantia de que são todos diferentes)
• Compre mais 40 pacotes de 5 adesivos e troque as duplicatas até ter no máximo 50 adesivos faltando.
• Compre os adesivos restantes diretamente da Panini (eles custam aproximadamente 1,5 vezes mais).

É um total de 140 pacotes e até 15 pacotes extras de adesivos (por custo) adquiridos de maneira direcionada, equivalente a no máximo 155 pacotes .