Para um projeto de pesquisa, preciso encontrar o valor esperado do quociente generalizado de Rayleigh: Aqui A e B são matrizes de covariâncias determinísticas definidas positivamente p x p , e w segue uma distribuição multivariada com linhas circulares de altitude (digamos, padrão multivariado normal). A dimensão p é maior que 100.
Esse problema é fácil de resolver usando simulação; no entanto, eu queria saber se alguém poderia saber como esse problema poderia ser resolvido (ou aproximado) analiticamente. Minha primeira idéia foi que, possivelmente pelo teorema do limite central de Lindeberg ou Lyapunov, tanto o numerador quanto o denominador são distribuídos aproximadamente normalmente, o que nos dá uma razão de duas variáveis aleatórias normais (correlacionadas) normais, mas a simulação mostra que esse não é o caso.
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Respostas:
No caso da distribuição normal, uma solução pode ser encontrada nas formas quadrática de Mathai e Provost, em variáveis aleatórias (1992). Os momentos inversos e de produto de tais formas quadráticas são derivados da função geradora de momento.
Formas quadráticas nas distribuições elípticas e seus momentos são tratados nas formas Mathai, Provost e Hayakawa, Bilinear e polinômios zonais (1995), mas não na mesma extensão que no caso normal. Como distribuições elípticas são geralmente definidas em termos de sua função característica , essa função aparecerá na solução se alguém escolher a abordagem mgf. No entanto, nunca foi calculado.ξeitμξ(t′Σt) ξ
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