Transformada de Anscombe e aproximação normal

A transformação Anscombe é$a(x) = 2\sqrt{x+3/8}$.

Alguém pode me mostrar como provar que uma versão de uma variável aleatória distribuída por Poisson, transformada em Anscombe, é distribuída aproximadamente normal (quando )?$Y = a(X)$$X$$\lambda>4$

Aqui está um esboço de uma prova que combina três idéias: (a) o método delta, (b) transformações de estabilização de variância e (c) o fechamento da distribuição de Poisson sob somas independentes.

Primeiro, vamos considerar uma sequência de variáveis ​​aleatórias iid Poisson$X_1, X_2, \ldots$ com média $\lambda > 0$. Então, o Teorema do Limite Central afirma que

$$\newcommand{\barX}{\bar{X}_n}\newcommand{\convd}{\,\xrightarrow{\,d\,}\,}\newcommand{\Nml}{\mathcal{N}} \sqrt{n} (\barX - \lambda) \convd \Nml(0,\lambda) \> .$$

Observe que a variação assintótica depende do parâmetro (presumivelmente desconhecido) . Seria bom se pudéssemos encontrar alguma função dos dados além de tal que, após centralizar e redimensionar, tivesse a mesma variação assintótica, independentemente do parâmetro .$\lambda$$\bar{X}_n$$\lambda$

O método delta fornece uma maneira útil de determinar a distribuição de funções suaves de algumas estatísticas cuja distribuição limitadora já é conhecida. Seja uma função com a primeira derivada contínua tal que . Então, pelo método delta (especializado no nosso caso particular de interesse), $g$$g'(\lambda) \neq 0$

$$\sqrt{n}\big(g(\barX) - g(\lambda)\big) \convd \Nml(0, \lambda g'(\lambda)^2) \>.$$

Então, como podemos tornar constante a variação assintótica (digamos, o valor ) para todos os possíveis ? Pela expressão acima, sabemos que precisamos resolver$1$$\lambda$

$$g'(\lambda) = \lambda^{-1/2} \>.$$

Não é difícil ver que a antiderivada geral é para qualquer , e a distribuição limitadora é invariável à escolha de (por subtração), para que possamos definir sem perda de generalidade. Essa função é chamada de transformação estabilizadora de variância .$g(\lambda) = 2 \sqrt{\lambda} + c$$c$$c$$c = 0$$g$

Portanto, pelo método delta e por nossa escolha de , concluímos que $g$

$$\sqrt{n}\Big(2\sqrt{\barX} - 2\sqrt{\lambda}\Big) \convd \Nml(0, 1) \>.$$

Agora, a distribuição de Poisson é fechada sob somas independentes. Portanto, se é Poisson com média , existem variáveis ​​aleatórias que são iid Poisson com média forma que tenha a mesma distribuição que . Isso motiva a aproximação no caso de uma única variável aleatória de Poisson.$X$$\lambda$$Z_1, \ldots, Z_n$$\lambda/n$$\sum_{i=1}^n Z_i$$X$

O que Anscombe (1948) descobriu foi que modificar a transformação (ligeiramente) para para uma constante realmente funcionou melhor para menor . Nesse caso, é quase ideal.$g$$\tilde{g}(\lambda) = 2\sqrt{\lambda + b}$$b$$\lambda$$b = 3/8$

Note que esta modificação "destrói" a verdadeira propriedade estabilizadora de variação de , isto é, não é estabilizadora de variação no sentido estrito. Mas, está próximo e oferece melhores resultados para menor .$g$$\tilde{g}$$\lambda$