Por que variáveis ​​aleatórias são definidas como funções?

Estou tendo problemas para entender o conceito de uma variável aleatória como uma função. Eu entendo a mecânica (acho) mas não entendo a motivação ...

Dizer é uma probabilidade tripla, onde , é a álgebra de Borel- nesse intervalo e é a medida regular de Lebesgue. Seja uma variável aleatória de a tal que , , ..., , então tem uma distribuição uniforme discreta nos valores de 1 a 6. Ω = [ 0 , 1 ] B σ P X B { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } X ( [ 0 , 1 / 6 ) ) = 1 X ( [ 1 / 6 , 2 / 6 ) ) = 2 X ( $(\Omega, B, P)$$\Omega = [0,1]$$B$$\sigma$$P$$X$$B$$\{1,2,3,4,5,6\}$$X([0,1/6)) = 1$$X([1/6,2/6)) = 2$$X([5/6,1]) = 6$$X$

Tudo bem, mas eu não entendo a necessidade da probabilidade original tripla ... poderíamos ter construído diretamente algo equivalente como onde é toda a apropriada do espaço e é uma medida que atribui a cada subconjunto a medida (número de elementos) / 6. Além disso, a escolha de foi arbitrária - poderia ter sido ou qualquer outro conjunto.$(\{1,2,3,4,5,6\}, S, P_x)$$S$$\sigma$$P_x$$\Omega=[0,1]$$[0,2]$

Então, minha pergunta é: por que se preocupar em construir um arbitrário com uma álgebra e uma medida e definir uma variável aleatória como um mapa da álgebra para a linha real? $\Omega$$\sigma$$\sigma$

Se você está se perguntando por que todo esse maquinário é usado quando algo muito mais simples pode ser suficiente - você está certo, nas situações mais comuns. Entretanto, a versão teórica da probabilidade da medida foi desenvolvida por Kolmogorov com o objetivo de estabelecer uma teoria de tal generalidade que pudesse lidar com, em alguns casos, espaços de probabilidade muito abstratos e complicados. De fato, os fundamentos teóricos da medida de Kolmogorov para a probabilidade finalmente permitiram que as ferramentas probabilísticas fossem aplicadas muito além do domínio de aplicação pretendido original em áreas como a análise harmônica.

A princípio, parece mais simples pular qualquer -algebra "subjacente" e simplesmente atribuir massas de probabilidade aos eventos que compõem o espaço da amostra diretamente, como você propôs. De fato, os probabilistas efetivamente fazem a mesma coisa sempre que escolhem trabalhar com a "medida induzida" no espaço amostral definido por . No entanto, as coisas começam a ficar complicadas quando você começa a entrar em espaços dimensionais infinitos. Suponha que você queira provar a Lei Forte dos Grandes Números para o caso específico de lançar moedas justas (ou seja, que a proporção de cabeças tende arbitrariamente perto de 1/2, à medida que o número de moedas vira para o infinito). Você pode tentar construir umΩ P ∘ X - um σ ( H , T , H , . . . ) Ω = [ 0 , 1 ) $\sigma$$\Omega$$P \circ X^{-1}$$\sigma$-algebra no conjunto de sequências infinitas da forma . Mas aqui podemos descobrir que é muito mais conveniente usar o espaço subjacente como ; e, em seguida, use as representações binárias de números reais (por exemplo, ) para representar seqüências de lançamentos de moedas (1 sendo , 0 sendo coroa). Uma ilustração desse mesmo exemplo pode ser encontrada nos primeiros capítulos de Probabilidade e Billingsley. Medida .$(H,T,H,...)$$\Omega = [0,1)$$0.10100...$

As questões relativas às álgebras são sutilezas matemáticas, que não explicam realmente por que ou se precisamos de um espaço em segundo plano . Na verdade, eu diria que não há evidências convincentes de que o espaço de fundo seja uma necessidade. Para qualquer configuração probabilística ( E , E , μ ) em que E é o espaço da amostra, E a σ- álgebra e μ uma medida de probabilidade, o interesse é em μ e não há razão abstrata para que μ seja a medida da imagem de um mapa mensurável X : ( Ω , $\sigma$$(E, \mathbb{E}, \mu)$$E$$\mathbb{E}$$\sigma$$\mu$$\mu$$\mu$ .$X : (\Omega, \mathbb{B}) \to (E, \mathbb{E})$

No entanto, o uso de um espaço de fundo abstrato fornece conveniência matemática que faz com que muitos resultados pareçam mais naturais e intuitivos. O objetivo é sempre a dizer algo sobre , a distribuição de X , mas pode ser mais fácil e mais claramente expressa em termos de X .$\mu$$X$$X$

Um exemplo é dado pelo teorema do limite central. Se é seu valor real com média μ e variância σ 2, o CLT diz que P ( $X_1, \ldots, X_n$$\mu$$\sigma^2$ ondeΦé a função de distribuição para a distribuição normal padrão. Se a distribuição deXiéμ,o resultado correspondente em termos da medida indica ρ

$$P\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma} \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i - \xi\right) \leq x \right) \to \Phi(x)$$ $\Phi$$X_i$$\mu$ é necessária alguma explicação sobre a terminologia por.μ*nqueremos dizer an-times convolução deμ(a distribuição da soma).Asfunçõesρcsão as funções linearesρc(x)=cxe $$\rho_{\sqrt{n}/\sigma} \circ \tau_{\xi} \circ \rho_{1/n}(\mu^{*n})((-\infty, x]) \to \Phi(x)$$ $\mu^{*n}$$n$$\mu$$\rho_c$$\rho_c(x) = cx$ é a tradução τ ξ ( x ) = x - ξ . Provavelmente, alguém poderia se acostumar com a segunda formulação, mas faz um bom trabalho para esconder o que se trata.$\tau_{\xi}$$\tau_{\xi}(x) = x - \xi$

O que parece ser o problema é que as transformações aritméticas envolvidas no CLT são claramente expressas em termos de variáveis ​​aleatórias, mas não se traduzem tão bem em termos de medidas.

Recentemente, eu me deparei com essa nova maneira de pensar na Variável Aleatória e no espaço de fundo Ω . Não tenho certeza se essa é a pergunta que você estava procurando, pois não é uma razão matemática, mas acho que fornece uma maneira muito clara de pensar em RVs.$X$$\Omega$

Imagine uma situação em que jogamos uma moeda. Essa configuração experimental consiste em um conjunto de possíveis condições iniciais que incluem a descrição física de como a moeda é lançada. O espaço de fundo consiste em todas essas condições iniciais possíveis. Por uma questão de simplicidade, podemos assumir que os lançamentos das moedas variam apenas em velocidade, e então $\Omega = [0,v_{max}]$

A variável aleatória pode então ser pensada como uma função que mapeia todos os estados iniciais ω ∈ Ω com o resultado correspondente do experimento, isto é, se é coroa ou cabeça.$X$$\omega \in \Omega$

Para o RV: a medida Q corresponderia então à medida da probabilidade sobre as condições iniciais, que juntamente com a dinâmica do experimento representada por $X:([0,v_{max}], B\cap [0,v_{max}], Q)\to (\{0,1\}, 2^{\{0,1\}})$$Q$$X$ determina a distribuição de probabilidade sobre os resultados.

Para referência a essa idéia, você pode ver os capítulos de Tim Maudlin ou Micheal Strevens em "Probabilties in Physics" (2011)