Hipervolume do contorno

Estou procurando o valor assintótico ( $n\rightarrow \infty$ ) de (o logaritmo do determinante) da covariância da $\alpha$ % de observações com a menor distância euclidiana da origem em uma amostra de tamanho $n$ extraída de, digamos, uma bivariada gaussiano padrão.

- O hiper-volume de uma elipse é proporcional ao determinante de sua matriz de covariância, daí o título.

--Por padrão gaussiano bivariado, quero dizer $\mathcal{N}_2(0_2,\pmb I_2)$ onde$0_2$ é um vetor de 0 de comprimento 2 e$\pmb I_2$ é a matriz de identidade rank 2 .---

É fácil ver por simulações do que quando $\alpha=52/70$ o número é de cerca de $\approx -1.28$ :

library(MASS)
n<-10000
p<-2
x<-mvrnorm(n,rep(0,p),diag(2))
h<-ceiling(0.714286*n)
p<-ncol(x)
w<-mahalanobis(x,rep(0,p),diag(p),inverted=TRUE) #These are eucledian distances, because the covariance used is the identity matrix
s<-(1:n)[order(w)][1:h]
log(det(cov(x[s,])))

mas não me lembro de como obter uma expressão exata (ou, na sua falta, uma melhor aproximação) para isso.

Ok, essa pergunta parece surgir de tempos em tempos, então eu acho que vou dar uma resposta geral.

Em [1], os autores mostram que se com Σ simétrica definida, e positivo S $\pmb x_i\sim \mathcal{N}_p(\pmb \mu,\pmb \varSigma),i=1,\ldots,n$$\varSigma$$S_{\alpha}$

$$S_{\alpha}=\{i: (\pmb x_i-\pmb\mu)'\varSigma^{-1}(\pmb x_i-\pmb\mu)\leqslant q_{\alpha}\}\label{a}\tag{0}$$

para e$q_{\alpha}=\chi^2_{p}(\alpha),\;0<\alpha\leqslant 1$

$$C_{\alpha}=\mbox{cov}_{i\in S_{\alpha}}\pmb x_i\label{b}\tag{1}$$

Então, assintoticamente, converge para l α Σ onde$C_{\alpha}$$l_{\alpha}\varSigma$

$$l_{\alpha}=\frac{ F_{\chi^2_{p+2}(q_{\alpha})} }{\alpha}\label{c}\tag{2}$$

Essa aproximação é realmente boa (aqui para alpha = 60/70):

library(MASS)
alpha<-60/70
p<-2
n<-1000000

radius<-sqrt(qchisq(alpha,df=p))
x0<-mvrnorm(n,rep(0,p),diag(p),empirical=TRUE)
Id<-which(rowSums(x0*x0)<=radius**2)
cov(x0[Id,])

qalpa<-qchisq(alpha,p)
diag(1/(alpha/(pchisq(qalpa,p+2))),p)

Então, finalmente, para responder à pergunta, o determinante da matriz de covariância das [ α n ] observações com a menor norma euclediana até a origem (este é o caso particular em que Σ = $\log$$[\alpha n]$ e$\varSigma=\pmb I_p$$\pmb \mu=\pmb 0_p$

$$p\log F_{\chi^2_{p+2}(q_{\alpha})}-p\log\alpha\label{d}\tag{3}$$

1. Croux C., Haesbroeck G. (1999). Função de influência e eficiência do estimador de matriz dispersa determinante de covariância mínima. Revista de Análise Multivariada. 71. 161-190.