Derivando a distribuição bivariada de Poisson

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Encontrei recentemente a distribuição bivariada de Poisson, mas estou um pouco confusa sobre como ela pode ser derivada.

A distribuição é dada por:

P(X=x,Y=y)=e(θ1+θ2+θ0)θ1xx!θ2yy!i=0min(x,y)(xi)(yi)i!(θ0θ1θ2)i

Pelo que pude entender , o termo \ theta_ {0}θ0 é uma medida de correlação entre X e Y ; portanto, quando X e Y são independentes, θ0=0 e a distribuição simplesmente se torna o produto de duas distribuições Poisson univariadas.

Tendo isto em mente, a minha confusão baseia-se o termo somatório - Estou assumindo este termo explica a correlação entre X e Y .

Parece-me que o somatório constitui algum tipo de produto das funções de distribuição cumulativa binomial em que a probabilidade de "sucesso" é dada por e a probabilidade de "falha" é dada por , porque, mas eu poderia estar longe disso.i! 1(θ0θ1θ2) (i! 1i!1min(x,y)i(i!1min(x,y)i!)(min(x,y)i)=i!

Alguém poderia fornecer alguma assistência sobre como essa distribuição pode ser derivada? Além disso, se pudesse ser incluído em qualquer resposta como esse modelo pode ser estendido para um cenário multivariado (digamos três ou mais variáveis ​​aleatórias), isso seria ótimo!

(Finalmente, observei que havia uma pergunta semelhante postada antes ( Entendendo a distribuição bivariada de Poisson ), mas a derivação não foi realmente explorada.)

user9171
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O primeiro termo com expoente não deve ser vez de ? e θ 1 + θ 2 + θ 0e(θ1+θ2+θ0)eθ1+θ2+θ0
Gilles
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@Giles Desculpe, eu li mal seu comentário inicialmente - sim, você está correto; o termo deve ser . Obrigado por capturar isso! e(θ1+θ2+θ0)
precisa saber é o seguinte
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Em geral, não é "o" para versões multivariadas de distribuições univariadas, com algumas exceções convencionais ("o" normal multivariado, por exemplo). Existem várias maneiras de obter extensões multivariadas, dependendo de quais recursos são mais importantes. Autores diferentes podem ter diferentes versões multivariadas de distribuições univariadas comuns. Assim, geralmente, pode-se dizer algo como " um Poisson multivariado", ou "Poisson bivariado do tipo fulano". Este é bastante natural, mas não o único.
Glen_b -Reinstate Monica
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(ctd) ... por exemplo, alguns autores procuram uma distribuição multivariada capaz de dependência negativa, uma capacidade que esta não possui.
Glen_b -Reinstala Monica

Respostas:

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Numa apresentação corrediça , Karlis e Ntzoufras definir um bivariável Poisson como a distribuição de onde o X i independentemente possui Poisson distribuições. Lembre-se de que ter essa distribuição significa(X,Y)=(X1+X0,X2+X0)Xiθi

Pr(Xi=k)=eθiθikk!

parak=0,1,2,.

O evento é a união disjunta dos eventos(X,Y)=(x,y)

(X0,X1,X2)=(i,xi,yi)

para todos os que tornam os três componentes inteiros não negativos, dos quais podemos deduzir que . Como os são independentes, suas probabilidades se multiplicam, de onde0 i min ( x , y ) X ii0imin(x,y)Xi

F(θ0,θ1,θ2)(x,y)=Pr((X,Y)=(x,y))=i=0min(x,y)Pr(X0=i)Pr(X1=xi)Pr(X2=yi).

Esta é uma fórmula; acabamos. Mas, para ver que é equivalente à fórmula da pergunta, use a definição da distribuição de Poisson para escrever essas probabilidades em termos dos parâmetros e (assumindo que é zero) -o algebricamente para parecer o máximo possível com o produto :θ 1 , θ 2 Pr ( X 1 = x ) Pr ( X 2 = y )θiθ1,θ2Pr(X1=x)Pr(X2=y)

F(θ0,θ1,θ2)(x,y)=i=0min(x,y)(eθ0θ0ii!)(eθ1θ1xi(xi)!)(eθ2θ2yi(yi)!)=e(θ1+θ2)θ1xx!θ2yy!(eθ0i=0min(x,y)θ0ii!x!θ1i(xi)!y!θ2i(yi)!).

Se você realmente deseja - é um pouco sugestivo - pode reexprimir os termos na soma usando os coeficientes binomiais E , produzindo(xi)=x!/((xi)!i!)(yi)

F(θ0,θ1,θ2)(x,y)=e(θ0+θ1+θ2)θ1xx!θ2yy!i=0min(x,y)i!(xi)(yi)(θ0θ1θ2)i,

exatamente como na pergunta.


A generalização para cenários multivariados pode prosseguir de várias maneiras, dependendo da flexibilidade necessária. O mais simples contemplaria a distribuição de

(X1+X0,X2+X0,,Xd+X0)

para variáveis ​​distribuídas independentes de Poisson . Para maior flexibilidade, variáveis ​​adicionais podem ser introduzidas. Por exemplo, use variáveis independentes Poisson e considere a distribuição multivariada do ,X0,X1,,XdηiY1,,YdXi+(Yi+Yi+1++Yd)i=1,2,,d.

whuber
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parabéns! Aliás, o segundo no parêntese anterior ao último passo não deveria ser ? eθ0eθ2
Gilles
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@ Gilles Obrigado por pegar o erro de digitação - eu consertei. O expoente inicial de precisava ser ; o entre parênteses está correto. θ0+θ1θ1+θ2eθ0
whuber
@whuber Obrigado um milhão! Essa é uma resposta perfeita!
precisa saber é o seguinte
@whuber Ótima resposta! Ainda não vejo por que o evento deve ser a união disjunta dos eventos . Eu acho que isso só é verdade para . Talvez você quisesse dizer (em termos de componentes)? Mas isso é suficiente para caracterizar a função de distribuição? (X,Y)=(x,y)(X0,X1,X2)=(i,xi,yi)i=0(X,Y)(x,y)
vanguard2k
@ vanguard2k Não entendo o seu comentário. Você está afirmando que esses eventos não são desarticulados? (No entanto, devem ser, pois têm valores distintos de .) Ou você está afirmando que eles não são exaustivos? (Se sim, que valor (s) de você acha que não foi incluído?)X0(X,Y)
whuber
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Aqui está uma maneira de derivar a distribuição de poisson bivariada.

Sejam variáveis ​​aleatórias independentes de poisson com parâmetros . Então definimos . A variável , comum a e , faz com que o par seja correlacionado. Então devemos calcular a função de massa de probabilidade:X0,X1,X2θ0,θ1,θ2Y1=X0+X1,Y2=X0+X2X0Y1Y2(Y1,Y2)

P(Y1=y1,Y2=y2)=P(X0+X1=y1,X0+X2=y2)=x0=0min(y1,y2)P(X0=x0)P(X1=y1x0)P(X2=y2y0)=x0=0min(y1,y2)eθ0θ0x0x0!eθ1θ1y1x0(y1x0)!eθ2θ2y2x0(y2x0)!=eθ0θ1θ2θ1y1θ2y2x0=0min(y1,y2)(θ0θ1θ2)x0x0!(y1x0)(y2x0)

Espero que isso ajude!
kjetil b halvorsen
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Olá Kjetil - Corrigi os problemas com a formatação (mas, desejando mudar o mínimo possível, deixei vários erros de digitação intactos). Não entendo por que você está postando uma réplica da derivação em minha resposta anterior, especialmente quando você perdeu alguns fatores cruciais ao longo do caminho que causam o resultado final incorreto. Há um ponto específico que você está tentando fazer? TEX
whuber
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whuber: Comecei a escrever minha resposta antes de sua resposta ser postada! caso contrário, eu não teria escrito.
Kjetil b halvorsen