Fórmula de tamanho de amostra para um teste F?

Gostaria de saber se existe uma fórmula de tamanho de amostra como a fórmula de Lehr que se aplica a um teste F? A fórmula de Lehr para testes t é $n = 16 / \Delta^2$ , onde $\Delta$ é o tamanho do efeito ( por exemplo, $\Delta = (\mu_1 - \mu_2) / \sigma$ ). Isso pode ser generalizado para $n = c / \Delta^2$ que é uma constante que depende da taxa do tipo I, da potência desejada e se alguém está realizando um teste unilateral ou bilateral. $c$

Estou procurando uma fórmula semelhante para um teste F. Minha estatística de teste é distribuída, sob a alternativa, como um F não central com graus de liberdade e parâmetro de não centralidade , em que depende apenas dos parâmetros populacionais que são desconhecidos, mas têm algum valor. . O parâmetro é fixado pelo experimento é o tamanho da amostra. Idealmente, estou procurando uma fórmula (de preferência bem conhecida) da forma que depende apenas da taxa do tipo I e da potência. $k,n$ $n \lambda$ $\lambda$ $k$ $n$

n = \frac{c}{g (k, λ)}

$n = \frac{c}{g(k,\lambda)}$

c

$c$

O tamanho da amostra deve satisfazer

F (F^{- 1} (1 - α; k, n, 0); k, n, n λ) = β,

$F(F^{-1}(1-\alpha;k,n,0);k,n,n\lambda) = \beta,$ onde

F (x; k, n, δ)

$F(x;k,n,\delta)$ é o CDF de um F não central com

k, n

$k,n$ dof e parâmetro de não centralidade

δ

$\delta$ e

α, β

$\alpha, \beta$ são as taxas do tipo I e do tipo II. Podemos assumir que

k ≪ n

$k \ll n$ , ou seja ,

n

$n$ precisa ser 'suficientemente grande'.

Minhas tentativas de brincar com isso em R não foram frutíferas. Vi $g(k,\lambda) = \lambda / \sqrt{k+1}$ sugerido, mas os ajustes não pareceram muito bons.

edit: originalmente eu havia afirmado vagamente que o parâmetro de não centralidade 'depende' do tamanho da amostra. Pensando bem, achei isso muito confuso, deixando a relação clara.

Além disso, eu posso calcular o valor de exatamente resolvendo a equação implícita por meio de um localizador de raiz ( por exemplo, o método de Brent). Estou procurando uma equação para guiar minha intuição e usá-la como regra geral. $n$

sample-size power non-central f-test shabbychef
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Para esclarecer, é correto que você já consiga obter o necessário , mas está procurando uma fórmula geral? Eu ficaria muito surpreso se houver uma fórmula geral útil.

n

$n$

mark999 22/05

Respostas:

Gostaria de saber se existe uma fórmula de tamanho de amostra como a fórmula de Lehr que se aplica a um teste F?

A página " Ferramentas elétricas para epidemiologistas " explica:

Diferença entre dois meios (Lehr):

Digamos, por exemplo, que você queira demonstrar uma diferença de 10 pontos no QI entre dois grupos, um dos quais exposto a uma potencial toxina e o outro não. Usando um QI médio da população de 100 e um desvio padrão de 20:

$n_{g r o u p} = \frac{16}{(100 - 90 / 20)^{2}}$ $n_{group}=\frac {16}{(100−90/20)^2}$
$n_{g r o u p} = \frac{16}{(.5)^{2}} = 64$ $n_{group}=\frac{16}{(.5)^2}=64$
Variação percentual em médias

Os pesquisadores clínicos podem estar mais à vontade para pensar em termos de mudanças percentuais, em vez de diferenças de média e variabilidade. Por exemplo, alguém pode estar interessado em uma diferença de 20% entre dois grupos de dados com cerca de 30% de variabilidade. O professor van Belle apresenta uma abordagem elegante para esses tipos de números que usa o coeficiente de variação (cv) 4 e traduz a variação percentual em uma razão de médias.

A variação na escala logarítmica (consulte o capítulo 5 em van Belle) é aproximadamente igual ao coeficiente de variação na escala original; portanto, a fórmula de Lehr pode ser traduzida para uma versão que usa cv

$n_{g r o u p} = \frac{16 (c . v .)^{2}}{(l n (μ_{0}) - l n (μ_{1}))^{2}}$ $n_{group}=\frac{16(c.v.)^2}{(ln(μ_0)−ln(μ_1))^2}$
Podemos então usar a variação percentual como a razão de médias, onde

$r . m . = \frac{μ_{0} - μ_{1}}{μ 0} = 1 - \frac{μ_{1}}{μ_{0}}$ $r.m.=\frac{μ_0−μ_1}{μ0}=1−\frac{μ_1}{μ_0}$
para formular uma regra de ouro:

$n_{g r o u p} = \frac{16 (c . v .)^{2}}{(l n (r . m .))^{2}}$ $n_{group}=\frac{16 (c.v.)^2}{(ln(r.m.))^2}$
No exemplo acima, uma mudança de 20% se traduz em uma razão de médias de 1 -20 = 0,80. (Uma alteração de 5% resultaria em uma razão de médias de 1 −0,05 = 0,95; uma alteração de 35% 1 − 0,35 = 0,65 e assim por diante.) Portanto, o tamanho da amostra para um estudo que procura demonstrar uma Uma mudança de 20% nas médias com dados que variam cerca de 30% em torno das médias seria

$n_{g r o u p} = \frac{16 (.3)^{2}}{(l n (.8))^{2}} = 29$ $n_{group}=\frac{16(.3)^2}{(ln(.8))^2}=29$

An R function based on this rule would be:
1   nPC<-function(cv, pc){
2       x<-16*(cv)^2/((log((1-pc)))^2)
3       print(x)
4   }
Say you were interested in a 15% change from one group to another, but were uncertain about how the data varied. You could look at a range of values for the coefficient of variation:
1   a<-c(.05,.10,.15,.20,.30,.40,.50,.75,1)
2   nPC(a,.15)
You could use this to graphically display your results:
1   plot(a,nPC(a,.15),  ylab="Number in Each Group", 
2   xlab="By Varying Coefficent of Variation", 
3   main="Sample Size Estimate for a 15% Difference")

Veja também: iSixSigma " Como determinar o tamanho da amostra " e RaoSoft " Calculadora de tamanho de amostra on-line ".

Rob
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