A correlação diferente de zero implica dependência?

Sabemos que a correlação zero não implica independência. Estou interessado em saber se uma correlação diferente de zero implica dependência - ou seja, se para algumas variáveis ​​aleatórias e , podemos dizer em geral que ?$\text{Corr}(X,Y)\ne0$$X$$Y$$f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$

Sim, porque

$$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \text{Cov}(X,Y)\ne0$$

$$\Rightarrow E(XY) - E(X)E(Y) \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int xf_X(x) dx\int yf_Y(y)dy \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int \int xyf_X(x) f_Y(y)dxdy \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xy \big[f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y)\big]dxdy \ne 0$$

o que seria impossível se . então$f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y) =0,\;\; \forall \{x,y\}$

$$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \exists \{x,y\}:f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$$

Pergunta: o que acontece com variáveis ​​aleatórias que não têm densidades?

Seja e Y denotem variáveis ​​aleatórias tais que E [ X 2 ] e E [ Y 2 ] sejam finitos. Então, E [ X Y ] , E [ X ] e E [ Y ] são finitos.$X$$Y$$E[X^2]$$E[Y^2]$$E[XY]$$E[X]$$E[Y]$

Restringindo nossa atenção a essas variáveis ​​aleatórias, deixe denotar a afirmação de que X e Y são variáveis ​​aleatórias independentes e B a afirmação de que X e Y são variáveis ​​aleatórias não correlacionadas , ou seja, E [ X Y ] = E [ X ] E [ Y ] . Então sabemos que A implica B , ou seja, variáveis ​​aleatórias independentes são variáveis ​​aleatórias não correlacionadas. De fato, uma definição$A$$X$$Y$$B$$X$$Y$$E[XY] = E[X]E[Y]$$A$$B$das variáveis ​​aleatórias independentes é que é igual a E [ g ( X ) ] E [ h ( Y ) ] para todas as funções mensuráveis g ( ⋅ ) e h ( ⋅ ) ). Isso geralmente é expresso como $E[g(X)h(Y)]$$E[g(X)]E[h(Y)]$$g(\cdot)$$h(\cdot)$ Mas

$$A \implies B.$$ é logicamente equivalente a ¬ $A \implies B$ , isto é,$\neg B \implies \neg A$

variáveis ​​aleatórias correlacionadas são variáveis ​​aleatórias dependentes .

Se , E [ X ] ou E [ Y ] não são finitos ou não existem, não é possível dizer se X e Y não estão correlacionados ou não no significado clássico de variáveis ​​aleatórias não correlacionadas, sendo aquelas para qual E [ X Y ] = E [ X ] E [ Y ] . Por exemplo, X e Y podem ser variáveis ​​aleatórias independentes de Cauchy (para as quais a média não existe$E[XY]$$E[X]$$E[Y]$$X$$Y$$E[XY] = E[X]E[Y]$$X$$Y$) São variáveis ​​aleatórias não correlacionadas no sentido clássico?

Aqui uma prova puramente lógica. Se então necessariamente ¬ B → ¬ A , como os dois são equivalentes. Assim, se ¬ B então ¬ Uma . Agora substitua A por independência e B por correlação.$A\rightarrow B$$\neg B \rightarrow \neg A$$\neg B$$\neg A$$A$$B$

Pense em uma declaração "se o vulcão entrar em erupção, haverá danos". Agora pense em um caso em que não há danos. Claramente, um vulcão não entrou em erupção ou teríamos uma condtradição.

Da mesma forma, pensar em um caso "Se independente , então não correlacionada X , Y ". Agora, considere o caso em que X , Y estão correlacionados. Claramente, eles não podem ser independentes, pois, se fossem, também seriam correlacionados. Conclua assim a dependência.$X,Y$$X,Y$$X,Y$